Ensino Superior ⇒ máximos e mínimos utilizando Hessiano Tópico resolvido

[thetruth]

[tex3]f(x,y)=2x^{2}+y^2-2xy+x-y[/tex3]



alguém me ajuda nessa aqui, não consegui resolver

[deOliveira]

O primeiro passo é determinar os pontos críticos de [tex3]f[/tex3].
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x-2y+1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2x+2y-1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
4x-2y+1=0 \\
-2x+2y-1=0
\end{cases}\rightarrow (x,y)=(0,\frac{1}{2})[/tex3] é o único ponto crítico de [tex3]f[/tex3].
Agora precisamos ver o valor do Hessiano de [tex3](0,\frac{1}{2})[/tex3], então precisamos das segundas derivadas de [tex3]f[/tex3].
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=4[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=-2y[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=2[/tex3]
Então [tex3]H(x,y)=\det\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-2 & 2 \\
\end{pmatrix}=8-4=4>0[/tex3]
Então temos que [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,\frac{1}{2})=4>0[/tex3] e [tex3]H(0,\frac{1}{2})>0[/tex3] então [tex3](0,\frac{1}{2}) [/tex3] é ponto de mínimo local de [tex3]f[/tex3].

Espero ter ajudado, Ana Carolina. '-'

[thetruth]

[tex3]\begin{cases}
4x-2y+1=0 \\
-2x+2y-1=0
\end{cases}\rightarrow (x,y)=(0,\frac{1}{2})[/tex3]

aqui está o meu problema, como você achou esses valores??

[deOliveira]

[tex3]\begin{cases}
4x-2y+1=0 \\
-2x+2y-1=0
\end{cases}[/tex3]
É só resolver o sistema. Vamos fazer passo a passo.
Primeiro eu somei a equação de baixo na de cima com a intenção de ter uma equação só com x, então: [tex3]4x-2y+1+(-2x+2y-1)=0\rightarrow 2x=0\rightarrow x=0[/tex3]
Então, já temos o valor de x e para encontrar o de y basta substituir o x de qualquer uma das duas equações por 0, que foi o valor que encontramos.
Vamos substituir na segunda [tex3]-2\cdot 0+2y-1=0 \rightarrow 2y-1=0 \rightarrow 2y=1 \rightarrow y=\frac{1}{2}[/tex3]

[thetruth]

[tex3]\begin{cases}
4x-2y+1=0 \\
-2x+2y-1=0
\end{cases}[/tex3]
É só resolver o sistema. Vamos fazer passo a passo.
Primeiro eu somei a equação de baixo na de cima com a intenção de ter uma equação só com x, então: [tex3]4x-2y+1+(-2x+2y-1)=0\rightarrow 2x=0\rightarrow x=0[/tex3]
Então, já temos o valor de x e para encontrar o de y basta substituir o x de qualquer uma das duas equações por 0, que foi o valor que encontramos.
Vamos substituir na segunda [tex3]-2\cdot 0+2y-1=0 \rightarrow 2y-1=0 \rightarrow 2y=1 \rightarrow y=\frac{1}{2}[/tex3]

boa, entendi agora