Ensino Superior ⇒ Equação da Reta Tangente e Normal Tópico resolvido

[Felipe22]

Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de [tex3]y = \arctan^2 (x)[/tex3], no ponto de abscissa [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

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resp: [tex3]y - \frac{\pi^2}{9} = \frac{\pi}{6} \( x - \sqrt{3}\)[/tex3] reta tangente

[tex3]y - \frac{\pi ^2}{9} = -\frac{ 6}{\pi} \( x - \sqrt{3}\)[/tex3] reta normal

[deOliveira]

Seja f:[tex3]I\rightarrow J[/tex3], com I,J intervalos de [tex3]\mathbb{R}[/tex3]. Temos por definição que a reta tangente ao gráfico de f em um ponto [tex3]a\in I[/tex3] é a reta dada por [tex3]y=f(x)+f'(x)(x-a)[/tex3].
Assim, como temos [tex3]f(x)=arctan^2(x)[/tex3] temos, usando a regra da cadeia que
[tex3]f'(x)=\frac{2arctan(x)}{x^2+1}[/tex3]
Logo: [tex3]y=arctan^2(\sqrt{3})+\frac{2arctan(\sqrt{3})}{(\sqrt{3})^2+1}*(x-\sqrt{3}) \rightarrow y-\frac{\pi ^2}{9}=\frac{\pi}{6}(x-\sqrt{3})[/tex3] é a reta tangente.

Já a reta normal é a reta perpendicular à reta tangente que passa pelo ponto [tex3](a,f(a))[/tex3]. Então, neste caso a reta perpendicular a
[tex3]y-\frac{\pi ^2}{9}=\frac{\pi}{6}(x-\sqrt{3})[/tex3] que passa pelo ponto [tex3](\sqrt{3},\frac{\pi^2}{9})[/tex3].
O coeficiente angular da reta tangente é [tex3]\frac{\pi}{6} \rightarrow [/tex3] o coeficiente angular da reta normal é [tex3]-\frac{1}{\frac{\pi}{6}}=-\frac{6}{\pi}[/tex3]
Logo, a reta normal é [tex3]y-\frac{\pi ^2}{9}=-\frac{6}{\pi}(x-\sqrt{3})[/tex3]