Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear: Base de um Subespaço Vetorial Tópico resolvido

[naallavoej]

Alguém consegue me explicar quatro exercicios, vou colocalos em tópicos diferentes, se ninguém puder me ajudar e eu conseguir responder eu posto a resposta.

Bom...

Tenhum um subspaço [tex3]\mathbb{R}^4[/tex3] dai ele é gerado por exemplo pelos vetores [tex3](1, 1, 2, 4),[/tex3] [tex3](2, -1, -5, 2),[/tex3] [tex3](2, 1, 1, 6),[/tex3] como acho uma bases dele.

[deOliveira]

Definição: Seja [tex3]V[/tex3] um subespaço vetorial. Um conjunto [tex3]B\subset V[/tex3] é dito base se [tex3]B[/tex3] é conjunto gerador de [tex3]V[/tex3] e é linearmente independente.

[tex3]V=[(1,1,2,4),(2,-1,-5,2),(2,1,1,6)][/tex3]
Então temos que o conjunto [tex3]\{(1,1,2,4),(2,-1,-5,2),(2,1,1,6)\}[/tex3] é gerador de V. Vamos verificar se tal conjunto é L.I.
Sejam [tex3]a,b,c\in\mathbb{R}[/tex3] tais que
[tex3]a(1,1,2,4)+b(2,-1,-5,2)+c(2,1,1,6)=(0,0,0,0)[/tex3]
[tex3](a+2b+2c,\hspace{1mm}a-b+c,\hspace{1mm}2a-5b+c, \hspace{1mm}4a+2b+6c)=(0,0,0,0)[/tex3]
[tex3]\implies \begin{cases} a+2b+2c=0 \\ a-b+c=0 \\ 2a-5b+c=0 \\ 4a+2b+6c=0\end{cases}\implies \begin{cases}
a+2b+2c=0 \\ 3b+c=0 \\ 5b+3c=0 \\ \end{cases}\implies \begin{cases}
a+2b+2c=0 \\ 3b+c=0 \\ 4c=0 \\ \end{cases}[/tex3]
[tex3]\implies a=b=c=0\implies\{(1,1,2,4),(2,-1,-5,2),(2,1,1,6)\} \hspace{2mm}é \hspace{2mm}L.I.[/tex3]
[tex3]\therefore \{(1,1,2,4),(2,-1,-5,2),(2,1,1,6)\}[/tex3] é base de [tex3]V[/tex3].

Espero ter ajudado