Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear: Subespaço Vetorial Tópico resolvido

[naallavoej]

Estou com problemas para entender algebra linear, alguém poderia me ajudar?

Se eu tenho um vetor [tex3](3, -1, 0, -1)[/tex3] ai quero saber se ele está no subespaço [tex3]\mathbb{R}^4[/tex3] gerado por [tex3](2, -1, 3, 2),[/tex3] e também [tex3](-1, 1, 1, -3)[/tex3] e [tex3](1, 1, 9, -5).[/tex3] Como faço para saber se ele está neste espaço?

[deOliveira]

Vamos primeiro verificar se [tex3]\{(2,-1,3,2),(-1,1,1,-3),(1,1,9,-5)\}[/tex3] é LI, para isso vou utilizar o método do escalonamento.
[tex3]\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 & -3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 9 & -5 \\ \end{pmatrix}\mathtt{\sim}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & 10 & -8 \\ \end{pmatrix}[/tex3]
Note que a terceira linha é múltipla da segunda. Então, (1,1,9,-5) é combinação linear de (2,-1,3,2) e (-1,1,1,-3)
[tex3]\implies V=[(2,-1,3,2),(-1,1,1,-3),(1,1,9,-5)]=[(2,-1,3,2),(-1,1,1,-3)][/tex3]
Então temos que [tex3]\{(2,-1,3,2),(-1,1,1,-3)\}[/tex3] é base de [tex3]V[/tex3] pois gera e é LI, já que é um conjunto com dois vetores não nulos e um não é múltiplo do outro.
Dessa forma, temos que cada um dos vetores de [tex3]V[/tex3] é escrito de forma única como combinação de (2,-1,3,2) e (-1,1,1,-3) pois [tex3]\{(2,-1,3,2),(-1,1,1,-3)\}[/tex3] é base.
Um vetor [tex3]v\in V[/tex3] se ele é combinação linear de (2,-1,3,2), (-1,1,1,-3), ou seja, existem [tex3]x,y\in\mathbb{R}[/tex3] tais que [tex3]x(2,-1,3,2)+y (-1,1,1,-3)=v[/tex3]
Queremos saber se [tex3](3,-1,0,-1)\in V [/tex3] então vamos ver se existem [tex3]x,y\in\mathbb{R}[/tex3] únicos tais que [tex3]x(2,-1,3,2)+y (-1,1,1,-3)=(3,-1,0,-1)[/tex3]
[tex3]\implies\begin{cases}2x-y=3 \\ -x+y=-1 \\ 3x+y=0 \\ 2x-3y=-1\end{cases}\implies \begin{cases}
-x+y=-1 \\ y=1 \\ 4y=-3 \\ -y=-3\end{cases}[/tex3]
Daí tiramos [tex3]y=1, y=3 ,y=-3/4[/tex3] o que é um absurdo.
[tex3]\therefore(3,-1,0,-1)\notin V [/tex3]

Espero ter ajudado