Ensino Superior ⇒ Funções de várias variáveis Tópico resolvido

[Natan]

Mostre que a função [tex3]f(x,\, y)=\ln(x^2+y^2)[/tex3] é harmônica.

[Cardoso1979]

Observe

Uma demonstração:

Para que a função f( x , y ) = ln ( x² + y² ) seja harmônica, o laplaciano deve ser nulo. Então,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{x^2+y^2}[/tex3]

Temos;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{2(x^2+y^2)-4x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x^2+2y^2-4x^2}{(x^2+y^2)^2}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{2y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}[/tex3]


Por outro lado, temos ainda;

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x^2+y^2}[/tex3]

Daí;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{2(x^2+y^2)-4y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x^2+2y^2-4y^2}{(x^2+y^2)^2}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}[/tex3]

Assim,

[tex3]∆f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{2y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2y^2-2x^2+2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{0}{(x^2+y^2)^2}[/tex3]

∆f = 0

Portanto, podemos afirmar que o laplaciano é nulo e sendo dessa forma a função é harmônica. C.q.m.




Bons estudos!