Olimpíadas ⇒ IMO 1994 Divisibilidade Tópico resolvido

[Hanon]

Determine todos os pares [tex3](m, n)[/tex3] de inteiros positivos para os os quais
[tex3]\frac{n^3+1}{mn-1}[/tex3] é inteiro.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Reduzindo o grau em n usando o " d divide" , temos que ;

( mn - 1 )|( n³ + 1 ) →

( mn - 1 )|[ ( n³ + 1 ).m - ( mn - 1 ).n² ] ⟺

( mn - 1 )|( n² + m ).


Utilizando essa mesma idéia, vem;

( mn - 1 )|( n² + m ) →

( mn - 1 )|[ ( n² + m ).m - ( mn - 1 ).n ] ⟺

( mn - 1 )|( m² + n )

Ainda,

( mn - 1 )|( m² + n ) →

( mn - 1 )|[ ( m² + n ).m - ( mn - 1 ) ] ⟺

( mn - 1 )|( m³ + 1 )

Note que, trata-se da mesma expressão do enunciado, substituindo n por m. Logo, a condição é simétrica em m e n e as divisibilidades acima são todas equivalentes entre si. Assim, podemos supor sem perda de generalidade que m ≥ n . Usando a "limitação" , fica;

( mn - 1 )|( n² + m ) →

mn - 1 ≤ n² + m ⟺ m.( n - 1 ) ≤ n² + 1.

Se n ≠ 1 temos [tex3]m≤\frac{n^2+1}{n-1}=n+1+\frac{2}{n-1}[/tex3]. Como estamos assumindo m ≥ n , se n ≥ 4 temos apenas duas possibilidades: m = n ou m = n + 1. Com isso, temos alguns casos a analisar.

• Se m ≥ n = 1 devemos ter ( m - 1 )|( 1² + m ) → ( m - 1 )|[ ( m + 1 ) - ( m - 1 ) ] ⟺ ( m - 1 )|2 e portanto m = 2 ou m = 3, em ambos os casos fornecendo soluções.

• Se m ≥ n = 2 devemos ter ( 2m - 1 )|( 2² + m ) → ( 2m - 1 )|[ 2( m + 4 ) - ( 2m - 1 ) ] ⟺ ( 2m - 1 )|9 ⟺ m = 2 ou m = 5, também em ambos os casos fornecendo soluções.

• Se m ≥ n = 3 devemos ter ( 3m - 1 )|( 3² + m ) → ( 3m - 1 )|[ 3( m + 9 ) - ( 3m - 1 ) ] ⟺ ( 3m - 1 )|28 ⟺ m = 5 , que fornece exatamente uma solução.

• Se m = n ≥ 4 devemos ter ( n² - 1 )|( n² + n ) ⟺ ( n - 1 )|n → ( n - 1 )|[ n - ( n - 1 ) ] ⟺ ( n - 1 )|1 o que nesse caso não é possível, note que n ≥ 4.

• Se m = n + 1 ≥ 5 devemos ter [ ( n + 1 ).n - 1 ]|[ n² + ( n + 1 ) ] ⟺ ( n² + n - 1 )|[ ( n² + n + 1 ) - ( n² + n - 1 ) ] ⟺ ( n² + n - 1 )|2 o que novamente não é possível, pois n ≥ 4.

Portanto, as soluções ( m , n ) são ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( 5 , 2 ) , ( 3 , 5 ) e ( 5 , 3 ).


Nota

I - " d divide" se d|a e d|b , então d|( ax + by ) para qualquer combinação linear ax + by de a e b com coeficientes x , y [tex3]\in [/tex3] Z.

II - "Limitação" se d|a , então a = 0 ou | d | ≤ | a |.



Bons estudos!