IME / ITA ⇒ (EEAR - 1991) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A equação que tem como raízes, os quadrados das raízes de [tex3]pqx^2-(p+q)x+1=0[/tex3] é:

a) [tex3]p^2q^2(x-\frac{1}{p})(x-\frac{1}{q})=0.[/tex3]
b) [tex3](x-\frac{1}{p^2})(x-\frac{1}{q^2})=0.[/tex3]
c) [tex3]pq(x-\frac{1}{p})(x-\frac{1}{q})=0.[/tex3]
d) [tex3](p^2x-1)(q^2x-1)=0.[/tex3]

[triplebig]

As raízes da equação original satisfazem:

[tex3]\left\{ a+b=\frac{p+q}{pq} \\ ab= \frac{1}{pq} \right.[/tex3]

Elevando ambas as equações ao quadrado:

[tex3]\left\{ a^2+2ab+b^2=\left(\frac{p+q}{pq}\right)^2 \Longleftrightarrow a^2+b^2=\left(\frac{p+q}{pq}\right)^2-\frac{2}{pq}=\left(\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}\right) \\ a^2b^2=\left(\frac{1}{pq}\right)^2 \right.[/tex3]

Observe que as raízes são [tex3]\frac{1}{p^2} \text{ e } \frac{1}{q^2}[/tex3] deste polinômio. Assim, sua equação na forma fatorada sera:

[tex3]\(x-\frac{1}{p^2}\)\(x-\frac{1}{q^2}\)[/tex3]

Letra b)