Ensino Superior ⇒ Extremos Relativos e Ponto de Sela Tópico resolvido

[engenhariamoderna]

Olá pessoal, estou com dúvidas nesta questao alguem pode me ajudar.

Localize todos os extremos relativos e pontos de sela da função
f(x,y) = 3x²-2xy+y²-8y

[deOliveira]

Creio que "FACULDADE" não seja o título mais adequado para o tópico

[tex3]f(x,y) = 3x^2-2xy+y^2-8y\\\\\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x-2y\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2x+2y-8[/tex3]

Vamos encontrar os pontos críticos de [tex3]f[/tex3]
[tex3]\begin{cases}6x-2y=0\\-2x+2y-8=0\end{cases}[/tex3]
Somando as duas equações temos que [tex3]4x-8=0\implies x=2[/tex3]
Substituindo na primeira temos que [tex3]12-2y=0\implies y=6[/tex3]

Então temos que [tex3](2,6)[/tex3] é o único ponto crítico de [tex3]f[/tex3]

Vamos calcular as segundas derivadas.
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=6\hspace{5mm}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=2\hspace{5mm}\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=-2[/tex3]

[tex3]H(2,6)=\det\begin{pmatrix}
6 &-2 \\
-2 & 2 \\
\end{pmatrix}=12-4=8>0[/tex3] e [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(2,6)>0\implies(2,6)[/tex3] é ponto de mínimo local de [tex3]f[/tex3].

Espero ter ajudado .