Olimpíadas ⇒ (IMO 2007) Divisibilidade Tópico resolvido

[Hanon]

Sejam [tex3]a \ e \ b[/tex3] inteiros positivos. Mostre que se [tex3]4ab-1[/tex3] divide [tex3](4a^2-1)^2[/tex3], então [tex3]a=b[/tex3].

[Cardoso1979]

Olá Hanon, assim que eu tiver um tempinho retorno para resolver esta questão


1° MODO:





2° MODO:

[undefinied3]

[tex3]4ab-1 | (4a^2-1)^2[/tex3]
[tex3]4ab-1|4ab-1[/tex3]

[tex3]4ab-1|(4a^2-1)^2-(4ab-1)^2[/tex3]
[tex3]4ab-1|(4a^2-4ab)(4a^2+4ab-2)=(a-b)8a(2a^2+2ab-1)[/tex3]

Se provarmos que [tex3]4ab-1[/tex3] não divide [tex3]a-b[/tex3] e nem [tex3]8a(2a^2+2ab-1)[/tex3], então devemos ter obrigatoriamente o lado direito sendo zero.

Suponha:
[tex3]4ab-1|16a^3+16a^2b-8a[/tex3]
Mas [tex3]4ab-1|4ab-1 \rightarrow 4ab-1|16a^2b-4a[/tex3]
Então [tex3]4ab-1|16a^3-4a[/tex3]

O que é um absurdo, pois o lado direito independe de b, enquanto o lado esquerdo depende. Então não tem como a divisibilidade ocorrer para a e b quaisquer.

Suponha:
[tex3]4ab-1|a-b \rightarrow 4ab-1|4a^2-4ab[/tex3]
[tex3]4ab-1|4ab-1 \rightarrow 4ab-1|4a^2-1[/tex3]

Pelo mesmo argumento, impossível ocorrer para (a,b) quaisquer

Então, se aquela divisibilidade ocorre, o lado direito é zero.

[tex3](a-b)8a(2a^2+2ab-1)=0[/tex3]

Suponha [tex3]2a^2+2ab-1=0 \rightarrow a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2+2}}{2}[/tex3], absurdo, pois não existe b tal que [tex3]b^2+2[/tex3] seja quadrado perfeito.

Então [tex3]a-b=0 \rightarrow a=b[/tex3]

Acho que é isso. Se alguém puder reafirmar a validade das passagens, eu agradeço.