Ensino Superior ⇒ Ponto extremante Tópico resolvido

[matbatrobin]

Determine os extremantes da função f.

[tex3]f(x)=(x-8)^3(x-6)^4[/tex3]

[deOliveira]

[tex3]f(x)=(x-8)^3(x-6)^4[/tex3]

Calculemos a derivada.
[tex3]f'(x)=3(x-8)^2(x-6)^4+4(x-8)^3(x-6)^3\\f'(x)=(x-8)^2(x-6)^3[3(x-6)+4(x-8)]\\f'(x)=(x-8)^{2}\cdot(x-6)^{3}\cdot(7x-50)[/tex3]

Encontremos os pontos críticos de [tex3]f[/tex3].
[tex3]f'(x)=0\iff(x-8)^2(x-6)^3(7x-50)=0\\(x-8)^2=0\hspace1mm ou\hspace1mm (x-6)^3=0\hspace1mm ou\hspace1mm (7x-50)=0\\(x-8)^2=0\implies x_0=8\\(x-6)^3=0\implies x_1=6\\7x-50=0\implies x_2=\frac{50}7 [/tex3]

Estudemos o sinal da derivada.
[tex3](x-8)^2\ge0[/tex3] para todo [tex3]x\in\mathbb R[/tex3]
[tex3](x-6)^3\ge0[/tex3] para todo [tex3]x\ge6[/tex3]
[tex3]7x-50\ge0[/tex3] para tod [tex3]x\ge\frac{50}7[/tex3]
Dessa forma temos que:
[tex3]f'(x)>0[/tex3] para [tex3]x\in(-\infty,6)\implies f[/tex3] estritamente crescente nesse intervalo
[tex3]f'(x)<0[/tex3] para [tex3]x\in\left(6,\frac{50}7\right)\implies f[/tex3] estritamente decrescente nesse intervalo
[tex3]f'(x)>0[/tex3] para [tex3]x\in\left(\frac{50}7,8\right)\implies f[/tex3] estritamente crescente nesse intervalo
[tex3]f'(x)>0[/tex3] para [tex3]x\in(8,+\infty)\implies f[/tex3] estritamente crescente nesse intervalo

Estudemos os limites no infinito.
[tex3]\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty[/tex3] e [tex3]\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty[/tex3]

Dessa forma, temos que [tex3]x_1=6[/tex3] é ponto de máximo local e [tex3]x_2=\frac{50}7[/tex3] é ponto de mínimo local.

Espero ter ajudado .