Olimpíadas ⇒ (Olimpíadas SAS) Funções Tópico resolvido

[mcarvalho]

Seja uma função real tal que, para quaisquer a, b reais, vale [tex3]f(\frac{a+2b}{3})=\frac{f(a)+2f(b)}{3}[/tex3]. Se f(2) = 1 e f(5) = 7, qual o valor de f(2016)?

a) 4 000
b) 4 029
c) 4 032
d) 4 997
e) 5 000

Resposta

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Não tenho gabarito

[csmarceloMOD]

Fazendo [tex3]a=5[/tex3] e [tex3]b=2[/tex3]

[tex3]f\(\frac{5+2\cdot2}{3}\)=\frac{f(5)+2f(2)}{3}\therefore f(3)=\frac{7+2\cdot1}{3}=3[/tex3]

Fazendo [tex3]a=2[/tex3] e [tex3]b=5[/tex3]

[tex3]f\(\frac{2+2\cdot5}{3}\)=\frac{f(2)+2f(5)}{3}\therefore f(4)=\frac{1+2\cdot7}{3}=5[/tex3]

[tex3]f(2)=1,f(3)=3,f(4)=5,f(5)=7[/tex3]

Repare que, nesses quatro casos, [tex3]f(n)[/tex3] é igual ao [tex3]n-1[/tex3]-ésimo número ímpar.

Então, eu chutaria que [tex3]f(2016)[/tex3] é igual ao 2015º número ímpar, que é [tex3]2\cdot2015-1=4029[/tex3].

[undefinied3]

Tente mostrar que [tex3]f(a+b)=f(a)+f(b)-f(0)[/tex3]

É conhecido (e também fácil de mostrar) que a equação funcional de Cauchy [tex3]f(a+b)=f(a)+f(b)[/tex3] possui solução [tex3]f(q)=Aq[/tex3] pra q racional (pode ser estendido para os reais com algumas informações de continuidade/diferenciabilidade/monotonicidade a mais, mas não é necessário neste caso). Note que [tex3]f(0)[/tex3] é uma constante, então temos a mesma equação funcional só que "não homogênea" por uma constante. Vamos chutar que a solução então é [tex3]Aq+B[/tex3]

[tex3]A(a+b)+B=Aa+B+Ab+B-B \rightarrow 0=0[/tex3], então é solução. Basta definir A e B. Para isso, temos as condições iniciais:
[tex3]f(2)=1 \rightarrow 2A+B=1[/tex3]
[tex3]f(5)=7 \rightarrow 5A+B=7[/tex3]
[tex3]A=2, \ B=-3[/tex3]

Então [tex3]f(q)=2q-3[/tex3]

[Auto Excluído (ID:24303)]

complementando a passagem da equação funcional de Jensen para a equação de Cauchy
[tex3]f(\frac{a+2b}{3})=\frac{f(a)+2f(b)}{3}[/tex3]
faça [tex3]b=0[/tex3]
[tex3]f(\frac a3) = \frac{f(a) + 2f(0)}3[/tex3]
seja [tex3]k = f(0)[/tex3] e substitua [tex3]a = x + 2y[/tex3]
[tex3]f(\frac{x+2y}3) = \frac{f(x+2y) + 2k}3 = \frac{f(x) + 2f(y)}{3}[/tex3]
definindo [tex3]h(x) = f(x) -k[/tex3] temos [tex3]h(x+2y) +k + 2k = h(x) + k + 2(h(2y) + k) \iff h(x+2y) = h(x) + 2h(y)[/tex3]
[tex3]x=y=0 \implies h(0) = 0[/tex3].
jogando [tex3]x=0[/tex3] temos [tex3]h(2y) = 2h(y) \iff h(x+2y) = h(x+2y) = h(x) + h(2y)[/tex3].
Chamando [tex3]z = 2y[/tex3] temos que:
temos que [tex3]h(x + z) = h(x) +h(z)[/tex3]
viewtopic.php?f=28&t=72577

[mcarvalho]

Bacana! Resposta bem completa, agora! Uma abordagem mais intuitiva, uma mais formal e sua justificativa . Agradeço aos três!!