Ensino Superior ⇒ Cilindro e esfera Tópico resolvido

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Determinar a equação do cilindro circunscrito às esferas [tex3](e1):(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=25[/tex3] e [tex3](e2):x^2+y^2+z^2=25[/tex3]


Resposta:
[tex3]x^2+4y^2+5z^2-4xy-125=0[/tex3]

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• [tex3]\displaystyle \sf (e_1):(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=25 [/tex3]

• [tex3]\displaystyle \sf (e_2):x^2+y^2+z^2=25[/tex3]

Resolução:

Ambas têm raio [tex3]\sf r = 5[/tex3], mas centros diferentes:

[tex3]\displaystyle\sf \begin{array}{l l l}
\sf Esfera & \sf Equação & \sf Centro \\ \hline
\sf e_1 & \sf (x-2)^2+(y-1)^2+z^2=25 & \sf C_1 = (\, 2,1,0\,) \\ \hline
\sf e_2 & \sf x^2+y^2+z^2=25 & \sf C_2 =(\, 0,0,0\,)
\end{array} [/tex3]

O cilindro circunscrito a duas esferas de mesmo raio tem seu eixo passando pelos dois centros.
O vetor diretor é:

[tex3]\displaystyle \sf \vec{v} = C_1 - C_2 = (\,2,\,1,\,0\,) [/tex3]

Aplicar a fórmula da distância de um ponto à reta:

A equação de um cilindro de raio 'R' é: [tex3]\sf d(\text{ponto, eixo})^2 = R^2 [/tex3]

Para um ponto [tex3]\sf P = (x,y,z) [/tex3], a distância ao eixo é dada por:

[tex3] \displaystyle \sf d^2 = \|P\|^2 - \dfrac{(P \cdot \vec{v})^2}{|\vec{v}|^2} \implies d^2 = (x^2+y^2+z^2) - \dfrac{(2x+y)^2}{5} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf 5^2 = (x^2+y^2+z^2) - \dfrac{(2x+y)^2}{5} \implies 25 = (x^2+y^2+z^2) - \dfrac{(2x+y)^2}{5} [/tex3]

Multiplicando por 5,temos:

[tex3] \displaystyle \sf 5x^2+5y^2+5z^2 - (2x+y)^2 = 125 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf 5x^2+5y^2+5z^2 - 4x^2 - 4xy - y^2 = 125 [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf\textcolor{#EC5800}{ x^2 - 4xy + 4y^2 + 5z^2 -125 =0 } [/tex3]

Fatorado, temos:

[tex3]\displaystyle \sf (x - 2y)^2 + 5z^2 = 125 [/tex3]