Ensino Superior ⇒ Extremos relativos Tópico resolvido

[MACHADO]

Ache os extremos relativos de [tex3]f(x) = 2+ x^{\frac{2}{3}}[/tex3] e os intervalos onde [tex3]f[/tex3] é crescente e decrescente.

[deOliveira]

[tex3]f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R\\f(x)=2+x^{\frac23}\\\implies f'(x)=\frac23x^{-\frac13}=\frac2{3\sqrt[3]x}[/tex3]

Os pontos candidatos a pontos de máximo ou mínimo relativos são:

1. Pontos críticos internos
2. Extremos do domínio
3. Pontos em que a derivada não existe

Temos que [tex3]f'(x)\ne0\hspace2mm\forall x\in\mathbb R[/tex3] então não temos pontos críticos internos.
O domínio de [tex3]f[/tex3] é o conjunto [tex3]\mathbb R[/tex3] dos números reais, então não há extremos.
E a derivada não existe no ponto [tex3]x=0[/tex3] pois o denominador zera.
Dessa forma, o único ponto candidato que temos é [tex3]x=0[/tex3].

Vamos analisar agora o sinal de [tex3]f'[/tex3].
[tex3]f'(x)<0\iff\frac2{3\sqrt[3]x}<0\iff\sqrt[3]x<0\iff x<0\\f'(x)>0\iff\frac2{3\sqrt[3]x}>0\iff\sqrt[3]x>0\iff x>0[/tex3]
[tex3]\implies\begin{cases}f\hspace2mm é\hspace2mmestritamente\hspace2mmdecrescente\hspace2mmno\hspace2mmintervalo\hspace2mm(-\infty,0)\\f\hspace2mm é\hspace2mmestritamente\hspace2mmcrescente\hspace2mmno\hspace2mmintervalo\hspace2mm(0,+\infty)\end{cases}[/tex3]

[tex3]\implies x=0[/tex3] é ponto de mínimo absoluto de [tex3]f[/tex3].

Espero ter ajudado .