IME / ITA ⇒ (EN - 1990) Geometria Plana: Trapézio Circunscritível Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Num trapézio retângulo circunscritível, a altura é igual à:

a) média aritmética das bases.
b) média geométrica das bases.
c) média harmônica das bases.
d) soma das bases.
e) diferença das bases.

[mvgcsdf]

Fala, Aldrin. Beleza, cara?
A resposta é letra C.
Eu vou tentar postar até amanhã a resolução.
Abração!!

[ALDRINMOD]

Pessoal, alguém sabe demonstrar, com figura ?

[Eusouumbolinhodebatata]

Não irei usar figura pois não tem nada rebuscado de traçados. O desenho é simples e as idéias geométricas são facilmente entendidas. Adotarei:
altura = h
base superior = b (convencionada como sendo a base menor)
base inferior = a
lado restante = c

Sendo o trapézio circunscritível, devemos ter [tex3]a+b=h+c[/tex3]

Logo: [tex3]c=a+b-h[/tex3] (1)

Podemos formar um triângulo retângulo de hipotenusa [tex3]c[/tex3] e catetos [tex3]h[/tex3] e [tex3]a-b[/tex3]. Para isso, basta imaginar a base menor superior sendo baixada sobre a base inferior maior.

Usando pitágoras teremos: [tex3]c=\sqrt{(h^2)+(a-b)^2}[/tex3]

Substituindo em (1) e elevando ambos os membros ao quadrado teremos:

[tex3]h^2+a^2+b^2-2.a.b=a^2+b^2+h^2+2.a.b-2.a.h-2.b.h[/tex3]

[tex3]2.a.b=a.h+b.h[/tex3]

[tex3]h=2\frac{a.b}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}[/tex3]

Que corresponde à média harmônica das bases.