Física I ⇒ Saraeva problema 658 - MHS Tópico resolvido

[BrenoBC]

Encontrar o período de oscilações do pêndulo, representado na figura 228. A barra na qual estão suspensas as massas [tex3]m_{1}[/tex3] e [tex3]m_{2}[/tex3], considerar de peso desprezível.

figura 228

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Só consegui pensar no centro de massa do sistema e sempre chego a este resultado que não bate com o gabarito: [tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{m_{1}L_{1}+m_{2}L_{2}}{g(m_{1}+m_{2})}}[/tex3]

<Gabarito>

---

T=[tex3]2\pi \sqrt{\frac{m_{1}L_{1}^2+m_{2}L_{2}^2}{g(m_{1}L_{1}+m_{2}L_{2})}}[/tex3]

[undefinied3]

Tome a posição de equilibrio e desloque um pequeno [tex3]\theta[/tex3] para a esquerda, por exemplo.

O objetivo é escrever [tex3]\frac{dL}{dt}=\tau[/tex3].

Para a primeira bolinha, ela exerce um torque de [tex3]-m_1gsen(\theta)*l_1[/tex3]. A segunda exerce um torque de [tex3]-m_2gsen(\theta)l_2[/tex3]

[tex3]\frac{dL}{dt}=-gsen(\theta)(m_1l_1+m_2l_2)[/tex3]

[tex3]L=I \omega \rightarrow L=I\frac{d \theta}{dt} \rightarrow \frac{dL}{dt}=I\frac{d^2 \theta}{dt^2}[/tex3]

Neste caso, como temos particulas, o momento de inércia é dado por [tex3]m_1l_1^2+m_2l_2^2[/tex3], cada parcela vem da respectiva bolinha.

[tex3](ml_1^2+ml_2^2) \frac{d^2\theta}{dt^2}=-sen(\theta)g(m_1l_1+m_2l_2)[/tex3]

Essa é a EDO que rege o movimento. Para resolvê-la, usamos a aproximação de ângulos pequenos, de modo que [tex3]sen(\theta)=\theta[/tex3]

[tex3](ml_1^2+ml_2^2) \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\theta g(m_1l_1+m_2l_2) \rightarrow \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g(m_1l_1+m_2l_2)}{ml_1^2+ml_2^2}\theta = -k\theta[/tex3]

E aqui nos deparamos com um MHS, pois a aceleração é proporcional à posição, respeitando a lei de Hooke.

[tex3]T=2\pi\sqrt{\frac{1}{k}}[/tex3], pois a expressão do jeito que eu deixei ali não está em função da "força", ou, no caso, torque, que seria [tex3]\tau = -k\theta[/tex3]. Note que, se eu estivesse escrito assim, a expressão do período ficaria [tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{I}{k}}[/tex3]

Segue o resultado do gabarito, então

[tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{m_1l_1^2+m_2l_2^2}{g(m1_l1+m_2l_2)}}[/tex3]

Acredito que você teve dificuldade com o momento de inércia I. Para partículas, é simplesmente a massa vezes a distância até o pivô ao quadrado.

[BrenoBC]

Esclareceu MUITO! Muito obrigado! Eu estudei pouco o assunto, por isso não pensei em resolver desta forma, acabei sendo muito simplório.

O saraeva joga esta equação sem explicações e com tom de obviedade. Pelo livro não chegar a abordar momento angular não pensei que uma de suas questões pudesse ter uma solução tão legal.