Ensino Superior ⇒ Conjunto de Cantor Tópico resolvido

[deOliveira]

Dado arbitrariamente [tex3]a\in(0,1][/tex3], prove que existem [tex3]x< y[/tex3] pertencentes ao conjunto de Cantor, tais que [tex3]y-x=a[/tex3].

Sugestão do livro: Mostre primeiro que, dado um número da forma [tex3]a=m/3^n[/tex3] (que na base 3 tem desenvolvimento finito), existem [tex3]x,y\in K[/tex3] tais que [tex3]x-y=a[/tex3]. Depois note que, sendo [tex3]K[/tex3] compacto, o conjunto [tex3]D[/tex3] dos números [tex3]|x-y|[/tex3], com [tex3]x,y\in K[/tex3], é compacto. Como as frações [tex3]m/3^n[/tex3] são densas em [tex3][0,1][/tex3], segue-se que [tex3]D=[0,1][/tex3].

[Cardoso1979]

Observe

Como ele deu a sugestão acima, então vamos utilizá-la.


Prova:

Dado [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] , existem x , y [tex3]\in [/tex3] K tais que x - y = a , pois se [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] é extremo de intervalo removido que pertence ao conjunto de Cantor, então tomamos y = 0 [tex3]\in [/tex3] K e x = a. Caso contrário [tex3]a=\sum_{K=1}^{S}\frac{x_{K}}{3^K}[/tex3], podemos sempre arranjar y finito formado por algarismos [tex3]x_{K}[/tex3] sendo 0 ou 2 ( ou no máximo o último algarismo sendo 1 )tal que a soma y + a também seja elemento do conjunto de Cantor, por exemplo a = 0,1212 , tomamos y de forma conveniente para que a soma seja um elemento do conjunto de Cantor, escolhendo os algarismos que devem ser somados, nesse caso podemos tomar y = 0,0020.

Definimos agora o conjunto D = { | x - y | , x , y [tex3]\in [/tex3] K } , tal conjunto é limitado, pois vale | x - y | ≤ | x | + | y | ≤ 1 + 1 = 2 por x e y serem elementos do conjunto de Cantor que é limitado. Agora iremos mostrar que tal conjunto é fechado, seja ( [tex3]w_{n}[/tex3] ) uma sequência convergente nesse conjunto, vamos mostrar que o limite da sequência pertence ao conjunto, [tex3]lim \ w_{n}=lim \ |x_{n}-y_{n}|=K\in D[/tex3]. Como o conjunto de Cantor é limitado as sequências ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) e ( [tex3]y_{n}[/tex3] ) são limitadas, logo possuem subsequências convergentes, passando para estas subsequência denotando ainda por ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) , ( [tex3]y_{n}[/tex3] ) elas convergem para elementos [tex3]x_{0}[/tex3] , [tex3]y_{0}[/tex3] no conjunto de Cantor ( pelo fato de tal conjunto ser fechado ) , temos então que

[tex3]lim \ w_{n}=lim \ |x_{n}-y_{n}|=|x_{0}-y_{0}|=t[/tex3]. Assim , existem [tex3]x_{0}[/tex3] , [tex3]y_{0}[/tex3] [tex3]\in [/tex3] K tais que [tex3]|x_{0}-y_{0}|=t[/tex3] limite de uma sequência arbitrária de pontos de D, logo D é fechado. O conjunto das frações do tipo [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] ( que são elementos de D ) é denso em [ 0 , 1 ] , disso segue que também D é denso em [ 0 , 1 ] , sendo conjunto fechado concluímos que D = [ 0 , 1 ] , portanto para qualquer valor de a [tex3]\in [/tex3] ( 0 , 1 ] existem x , y no conjunto de Cantor, tais que y - x = a. C.q.p.




Bons estudos!

[deOliveira]

Cardoso1979, muito obrigada!
Você sempre me ajuda bastante.

[Cardoso1979]

Cardoso1979, muito obrigada!
Você sempre me ajuda bastante.

Disponha!! Estou aqui para ajudar, sempre que eu souber é claro