Concursos Públicos ⇒ Quadrado inscritos circunferência Tópico resolvido

[ANNA2013MARY]

Um quadrado e um triângulo equilátero estão inscritos em uma mesmo circunferência . A razão entre a área do quadrado e a área do triângulo É?

Gabarito : [tex3]\frac{8\sqrt{3}}{9}[/tex3]

Como desenvolver

[rodBR]

Olá ANNA2013MARY, bom dia.

Solução
Neste Problema talvez o q tenha complicado para VC foi o fato de não ter sido dado os lados do quadrado e do triângulo equilátero. Mas, ele informou algo importante que tanto triângulo equilátero quanto o quadrado estão inscritos em uma mesma circunferência. Vamos usar isso!

Se o quadrado está inscrito na circunferência, então sua diagonal é igual ao diâmetro desta circunferência:
[tex3]d=\ell\sqrt{2}\\
2r=\ell\sqrt{2}\\
\ell=\frac{2r}{\sqrt{2}}\implies A_{quadrado}=\(\frac{2r}{\sqrt{2}}\)^2\iff \boxed{A_{quadrado}=2r^2}
[/tex3]

O lado de um triângulo equilátero inscritos função do raio é dado por [tex3]L=r\sqrt{3}[/tex3]
Assim , a área do triângulo equilátero inscrito em função do raio é:
[tex3]A_{∆}=\frac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}\iff \boxed{A_{∆}=\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\frac{A_{quadrado}}{A_∆}=\frac{2r^2}{\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}}\\
\frac{A_{quadrado}}{A_∆}=2r^2\cdot\frac{4}{3r^2\sqrt{3}}\\
\frac{A_{quadrado}}{A_∆}=\frac{8}{3\sqrt{3}}[/tex3]
Racionalizando:
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{A_{quadrado}}{A_∆}=\frac{8\sqrt{3}}{9}}}[/tex3]





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