Pré-Vestibular ⇒ (UEFS-2004) Logaritmos Tópico resolvido

[Natan]

O número de raízes da equação [tex3]2\log_2(\cos(x))-\log_{2}(1+\sen^2(x))=0,[/tex3] no intervalo [tex3][-2\pi,\, 2\pi][/tex3] é:

a) [tex3]5[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3]
c) [tex3]3[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]0[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

fala , Natan !

[tex3]2\log_2(\cos(x)) = \log_2(\cos^2(x))[/tex3]

[tex3]sen^2(x) = 1 - \cos^2(x)[/tex3]

reescrevendo :

[tex3]2\log_2(\cos(x))-\log_{2}(1+sen^2(x)) = \log_2(-1) = 0[/tex3]

o q n é verdade. então creio que seja alternativa e)

vlwww

[Natan]

Oi Pedro!

de onde você tirou que [tex3]2\log_2(\cos(x))-\log_{2}(1+\sen^2(x)) = \log_2(-1)[/tex3] ?

[triplebig]

[tex3]2\log_2(\cos(x))-\log_{2}(1+\text{sen}^2(x)) = \log_2\(\frac{1-\text{sen}^2x}{1+\text{sen}^2x}\)=\log_21\\ 1-\text{sen}^2x=1+\text{sen}^2x\\ \text{sen}^2x=0[/tex3]

Duas soluções.

[Natan]

Triplebig, não são duas soluções.

[triplebig]

Você chegou a olhar o desenvolvimento? Uma verificação poderia concluir que eu respondi a questão no intervalo [tex3][0;2\pi[[/tex3] , e o problema pediu no [tex3][-2\pi; 2\pi][/tex3]. Por isso que pra evitar situações como esta que é pedido pra colocar as respostas. Agora, se a resposta não for [tex3]5[/tex3] , então realmente foi no desenvolvimento que errei. Se tivesse a resposta, daria para descobrir.
Ai me diga se não for [tex3]5[/tex3] que eu tento descobrir o que há de errado.

[Natan]

pois é triplebig, não são cinco soluções. Eu analisei sim a sua resposta, peguei essa questão pra resolver e achei três soluções. Vou procurar o gabarito em algum lugar e te digo depois.

[Auto Excluído (ID:276)]

são cinco soluções , sim

cometi um equívoco na resolução e concordo com o triple...

-360, - 180, 0 , 180 , 360 . Cinco

[ALDRINMOD]

(UEFS 2004.1)
A soma das raízes de [tex3]2\log_2(\cos x)-\log_2(1+ \sen^2x)=0[/tex3], pertencentes ao intervalo [tex3][-2\pi, 2\pi][/tex3], é:

a) [tex3]0[/tex3].
b) [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3].
c) [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3].
d) [tex3]2\pi[/tex3].
e) [tex3]\frac{5\pi}{2}[/tex3].

Nota: UEFS – Universidade Estadual de Feira de Santana – Bahia.

Solução:
Poderemos escrever: [tex3]2\log_2(\cos x)=\log_2(1+\sen^2x)[/tex3]
Como já sabemos que [tex3]k . \log n=\log n^k[/tex3], vem: [tex3]\log_2(\cos x)^2=\log_2(1+\sen^2x)[/tex3]

Daí vem imediatamente que [tex3]\cos2x=1+\sen^2x[/tex3]
Passando [tex3]\sen^2x[/tex3] para o primeiro membro:
[tex3]\cos^2x-\sen^2x=1[/tex3]

Ocorre que já sabemos da Trigonometria que [tex3]\cos^2x-\sen^2x=\cos2x[/tex3]

Logo, a igualdade fica: [tex3]\cos2x=1[/tex3]

Temos aqui uma equação trigonométrica elementar do tipo [tex3]\cos y=m[/tex3]

Como [tex3]1=\cos 0[/tex3], vem:

[tex3]\cos2x= \cos0[/tex3]

Usando a condição de arcos de mesmo cosseno poderemos escrever:

[tex3]2x \pm 0=2k\pi[/tex3], onde [tex3]k[/tex3] é um número inteiro.
Logo, [tex3]2x=2k\pi \therefore x=k\pi[/tex3], com [tex3]k \in Z[/tex3]

Portanto as raízes da equação [tex3]\cos2x=1[/tex3], serão obtidas atribuindo-se valores inteiros a [tex3]k[/tex3].

O conjunto solução da equação [tex3]\cos2x=1[/tex3]
em [tex3]R[/tex3] – conjunto dos números reais – será então, igual a:
[tex3]S=\left\{... , -4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi, 5\pi, ... \right\}[/tex3]

Ocorre que o problema pede a soma das raízes no intervalo [tex3][-2\pi, 2\pi][/tex3].
As raízes que pertencem a este intervalo são: [tex3]{-}2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi[/tex3].

Lembrando que a equação proposta no problema é
[tex3]2\log_2 (\cos x)–\log_2(1 + \sen^2x)=0[/tex3]
e que não existe logaritmo de número real negativo, os valores [tex3]{-}\pi[/tex3] e [tex3]\pi[/tex3] não satisfazem ao problema pois [tex3]\cos\pi=-1[/tex3] e [tex3]\cos(-\pi)=-1[/tex3], o que faria com que [tex3]\log_2(\cos x)[/tex3] não existisse para estes valores. Assim, as raízes da equação proposta no intervalo dado são apenas [tex3]{-}2\pi[/tex3], [tex3]0[/tex3] e [tex3]2\pi[/tex3], cuja soma vale [tex3]{-}2\pi+0+2\pi=0[/tex3], o que nos leva tranquilamente à alternativa A .

Repare que mesmo que o candidato não observasse esta sutileza (de que [tex3]{-}\pi[/tex3] e [tex3]\pi[/tex3] não satisfazem ao problema) ainda assim ele acertaria a questão, pois a soma [tex3]{-}2\pi+(-\pi)+0+\pi+2\pi[/tex3] resultaria também em zero. Portanto, ao meu ver, uma pergunta mais adequada neste caso seria:

O número de raízes da equação [tex3]2\log_2 (\cos x)-\log_2(1+\sen^2x)=0[/tex3], no intervalo [tex3][-2\pi, 2\pi][/tex3] é:

a) [tex3]5[/tex3].
b) [tex3]4[/tex3].
c) [tex3]3[/tex3].
d) [tex3]2[/tex3].
e) [tex3]0[/tex3].

Muitos candidatos desavisados marcariam a resposta A, quando o correto seria C, pois as raízes seriam apenas [tex3]{-}2\pi[/tex3], [tex3]0[/tex3] e [tex3]2\pi[/tex3], pelos motivos já expostos acima.

Claro que falamos isto, preocupado apenas com o rigor do exame, não cabendo aqui nenhuma interpretação de que o objetivo seria complicar a questão.

Paulo Marques, 27 de fevereiro de 2004 – Feira de Santana – BA.