Ensino Superior ⇒ Domínio da Função de duas Variáveis Tópico resolvido

[eduardoochoa]

Determine graficamente o domínio da função [tex3]z=f(x,y)=\frac{x-y}{\sen x-\sen y}[/tex3].

Tudo que eu sei sobre esse exercício é que ele pertence ao livro Um curso de cálculo Vol. 2, Guidorizzi, cap. 8.1 exercício 3.h.

Sei também que o domínio é [tex3]\sen x-\sen y\neq 0[/tex3], só que não sei desenvolver essa relação para construir o gráfico do domínio.

OBS: Não precisa esboçar o gráfico se não quiser, "só" preciso que me mostrem como desenvolver essa relação para que eu possa construir o mesmo.

[Cardoso1979]

Observe

Modo 1:

Vamos analisar o domínio, ou seja , para quais valores não temos problema em aplicar a função.

Para que a função dada não tenha "problema" , precisamos que o denominador seja sempre não nulo, ou seja , sen (x) - sen (y) ≠ 0.

Daí,

sen (x) ≠ sen (y)

Assim, temos:

x ≠ y + 2kπ e y ≠ x + 2kπ , com k ∈ Z.

Graficamente, temos que o domínio corresponde a região entre as retas y = x + 2kπ e x = y + 2kπ ( Obs. as retas pontilhadas não entram , ou seja , não pertencem ao domínio. )

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Modo 2:

Aplicando as condições do problema, temos que;

sen (x) ≠ sen (y)

Apenas teremos sen (x) = sen (y) quando:

y = x + 2kπ , k ∈ Z ou y = - x + ( 2k + 1 )π , k ∈ Z.

sen ( y ) = sen [ - x + ( 2k + 1 )π ] = sen ( - x ).cos [ ( 2k + 1 )π ] + cos ( - x ).sen [ ( 2k + 1 )π ] , k ∈ Z

Obs.

- sen ( - x ) = - sen ( 0 - x ) = - sen ( 0 ).cos ( x ) + sen ( x ).cos ( 0 ) = sen ( x ).


Graficamente:

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Bons estudos!

[Cardoso1979]

Retornei só para complementar a solução, em outras palavras o domínio pode ser representado por:

[tex3]Df=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2/ y≠x+2kπ \ , \ k\in Z \ ou \ y≠-x+(2k+1)π \ , k \in Z\}[/tex3]


Abraços!