Ensino Superior ⇒ Limite - levantar indeterminação - Tópico resolvido

[Thales Gheós]

Não consegui levantar essa indeterminação.

[tex3]\lim_{x\to\infty}x[sen\left(\frac{1}{x^2}-x\right)-sen\left(x\right)][/tex3]

não tenho a resposta, mas acho que é [tex3]{}-\infty[/tex3]

obrigado.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}x\cdot \left[\sen \left(\frac{1}{x^2}-x\right)-\sen (x)\right]=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}x\cdot \left[2\cdot \sen \left(\frac{1}{x^2}-2x\right)\cdot \cos \left(\frac{1}{x^2}\right)\right]=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left[2x\cdot \sen \left(\frac{1}{x^2}-2x\right)\right]\cdot \lim_{x \rightarrow +\infty}\left[\cos \left(\frac{1}{x^2}\right)\right]=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left[2x\cdot \sen \left(\frac{1}{x^2}-2x\right)\right]\cdot \left[\cos \left(0\right)\right]=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left[2x\cdot \sen \left(\frac{1}{x^2}-2x\right)\right]\cdot 1=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left[2x\cdot \sen \left(\frac{1}{x^2}-2x\right)\right]=[/tex3]

Como a função sen(x) é limitada no intervalo [ - 1 ; 1 ] , então podemos escrever

[tex3]-1≤ \sen \left(\frac{1-2x^3}{x^2}\right)≤1 \ →×(2x)[/tex3]

[tex3]-2x≤ 2x\cdot \sen \left(\frac{1-2x^3}{x^2}\right)≤2x [/tex3]

Passando o limite tendendo a + ∞, vem;

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}(-2x)≤ \lim_{x \rightarrow +\infty}\left[2x\cdot \sen \left(\frac{1-2x^3}{x^2}\right)\right]≤\lim_{x \rightarrow +\infty}(2x) [/tex3]


Como [tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}(-2x)=-∞ \ e \ \lim_{x \rightarrow +\infty}(2x) =+∞[/tex3] , ou seja , temos dois valores diferentes para o mesmo limite, então podemos concluir que o limite dado não existe!


Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}x\cdot \left[\sen \left(\frac{1}{x^2}-x\right)-\sen (x)\right][/tex3] não existe!




Bons estudos!