Ensino Superior ⇒ Derivadas: Reta Tangente

[mawapa]

Encontre uma equação para a família de retas tangentes ao círculo com centro na origem e raio [tex3]3.[/tex3]

Solução:

---

Seja [tex3]x^2+y^2=9[/tex3] a equação do círculo e [tex3]P(x_0,y_0)[/tex3] o ponto de tangência.

Derivando implicitamente a equação da circunferência, vem:

• [tex3]2\cdot x + 2y\cdot y' = 0[/tex3]
  
  [tex3]y' = -\frac{x}{y}[/tex3]

Isolando [tex3]y[/tex3] na equação da circunferência encontramos:

• [tex3]y=\pm\sqrt{9-x^2}[/tex3]

Donde obtemos o coeficiente angular da família de retas tangentes:

• [tex3]m=f'(x_0)= \mp \frac{x_0}{\sqrt{9-x_0^2}}[/tex3]

Segue que a família de retas procurada é dada por:

• [tex3]y-y_0=\mp\frac{x_0}{\sqrt{9-x_0^2}} (x-x_0)[/tex3]
  
  [tex3]y=\mp\frac{x_0\cdot x}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm \frac{x_0^2}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm\sqrt{9-x_0^2}[/tex3]
  
  [tex3]y=\mp\frac{x_0\cdot x}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm \left[\frac{x_0^2}{\sqrt{9-x_0^2}} +\sqrt{9-x_0^2}\right][/tex3]
  
  [tex3]y=\mp\frac{x_0\cdot x}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm \frac{x_0^2+9-x_0^2}{\sqrt{9-x_0^2}}[/tex3]
  
  [tex3]y=\pm\frac{-x_0\cdot x+ 9}{\sqrt{9-x_0^2}}[/tex3]

[Cardoso1979]

Encontre uma equação para a família de retas tangentes ao círculo com centro na origem e raio [tex3]3.[/tex3]

Solução:

Seja [tex3]x^2+y^2=9[/tex3] a equação do círculo e [tex3]P(x_0,y_0)[/tex3] o ponto de tangência.

Derivando implicitamente a equação da circunferência, vem:

[tex3]2\cdot x + 2y\cdot y' = 0[/tex3]

[tex3]y' = -\frac{x}{y}[/tex3]

Isolando [tex3]y[/tex3] na equação da circunferência encontramos:

[tex3]y=\pm\sqrt{9-x^2}[/tex3]
Donde obtemos o coeficiente angular da família de retas tangentes:

[tex3]m=f'(x_0)= \mp \frac{x_0}{\sqrt{9-x_0^2}}[/tex3]

Segue que a família de retas procurada é dada por:

[tex3]y-y_0=\mp\frac{x_0}{\sqrt{9-x_0^2}} (x-x_0)[/tex3]

[tex3]y=\mp\frac{x_0\cdot x}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm \frac{x_0^2}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm\sqrt{9-x_0^2}[/tex3]

[tex3]y=\mp\frac{x_0\cdot x}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm \left[\frac{x_0^2}{\sqrt{9-x_0^2}} +\sqrt{9-x_0^2}\right][/tex3]

[tex3]y=\mp\frac{x_0\cdot x}{\sqrt{9-x_0^2}} \pm \frac{x_0^2+9-x_0^2}{\sqrt{9-x_0^2}}[/tex3]

[tex3]y=\pm\frac{-x_0\cdot x+ 9}{\sqrt{9-x_0^2}}[/tex3]

Solução bacana!