Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Cônicas (Antonio dos Santos Machado)

[Simonsen]

A parábola [tex3]y=\frac{x^2}{k}[/tex3] e a circunferência [tex3]x^2+(y-2)^2 = 1[/tex3] apresentam quatro pontos em comuns. Podemos afirmar que

a) [tex3]4-2\sqrt{3}< k < 4+2\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]0 < k < 4-2\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]k > 4 + 2\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]5-3\sqrt{2} < k < 5+3\sqrt{2}[/tex3]
e) [tex3]4+2\sqrt{3} < k < 5+3\sqrt{2}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: B

[petrasMOD]

Simonsen,
Fazendo a interseção (k [tex3]\neq 0)[/tex3]:

[tex3]\mathsf{x^2+(\frac{x^2}{k}-2)^2 = 1\\
x^2+\frac{x^4}{k^2}-\frac{4x^2}{k}+4=1\\
k^2x^2+x^4-4kx^2+3k^2=0\rightarrow x^2=y\\
k^2y+y^2-4ky+3k^2=0\rightarrow y^2+k^2y-4ky+3k^2=0\\
y^2+(k^2-4k)y+3k^2=0\\ \Delta > 0\rightarrow k^4-8k^3+4k^2 > 0\rightarrow k^2(k^2-8k+4)>0\\
Resolvendo: \boxed{0 < k < 4-2\sqrt{3}}~ou ~k> 4+2\sqrt{3}(não~atende)~ou~k=0(não~atende)}[/tex3]