Pré-Vestibular ⇒ UDESC Trigonometria Tópico resolvido

[Valdilenex]

Considere x ∈(0,π/2)o valor que faz os termos sen(x), 2cos(2x) e 3sen(x) formem, nessa ordem,uma progressão arimética? A soma dos três termos dessa progressão é igual a :
resposta 3

[mcarvalho]

[tex3]senx,2cos(2x),3senx[/tex3] são, nessa ordem, uma PA. Mas [tex3]cos2x=cos^2x-sen^2x=1-2sen^2x[/tex3]

Pela propriedade de PAs: [tex3]2cos(2x)=\frac{senx+3senx}{2}\rightarrow 4(1-2sen^2x)=4senx\\1-2sen^2x=senx\rightarrow 2sen^2x+senx-1=0[/tex3]

Vamos resolver essa equação de segundo grau na incógnita [tex3]sen x[/tex3]: [tex3]senx=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}\therefore senx=\frac 12\rightarrow x=\frac{\pi}{6}[/tex3] ou [tex3]senx=-1[/tex3] e não existe [tex3]x\in[0;\frac{\pi}{2}][/tex3] que satisfaça.

Queremos a soma [tex3]senx+2cos(2x)+3senx[/tex3], sabendo [tex3]x=\frac{\pi}{6}[/tex3]. Então: [tex3]\frac 12+2.(\frac 12)+3.(\frac 12)=3[/tex3]