Ensino Superior ⇒ EDO - Osciladores Harmônicos Tópico resolvido

[Eduardo100]

Boa tarde,

estou tendo dificuldades para resolver um problema de EDO a respeito de osciladores harmônicos. Alguém saberia, por favor, como devo proceder para a resolução deste problema:

Dois osciladores harmônicos satisfazendo [tex3]x(0) = y(0) = 1[/tex3], [tex3]x'(0) = y'(0) = 1[/tex3] tem movimentos regidos pelas equações [tex3]x" = -x[/tex3], [tex3]y" = -Ky[/tex3] respectivamente, com [tex3]K > 0[/tex3]. A função [tex3]f(t) = (x(t), y(t))[/tex3] é periódica se e somente se:

a) [tex3]K\in \mathbb{Q}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{K}\in \mathbb{Q}[/tex3]
c) [tex3]K\in \mathbb{R}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{K}\in \mathbb{N}[/tex3]
e) [tex3]K\in \mathbb{N}[/tex3]

Resposta

---

b) [tex3]\sqrt{K}\in \mathbb{Q}[/tex3]

Caso minha resolução esteja correta, eu cheguei em [tex3]y(t) = \(\cos t + \sen t,\,\, \cos Kt + \frac{1}{K}\sen Kt\)[/tex3]. Mas não sei como continuar, para avaliar quando será periódica. Se alguém souber e puder me ajudar, eu agradeço muito.

Obrigado!

[Cardoso1979]

Observe

Comentários e algumas dicas:

Na realidade a segunda solução da EDO é:

[tex3]y(t)=cos (t.\sqrt{K})+\frac{\sqrt{K}}{K}.sen (t.\sqrt{K})[/tex3]

Ora , a condição para que uma função seja periódica é que P > 0 tal que f( x ) = f( x.P ) , onde P é o período.

Então, no nosso caso [tex3]\sqrt{K}>0[/tex3].

Com isso já descartamos as alternativas a) , c) e e), temos agora para analisar as alternativas b) e d), vamos lá!

Porque não pode ser a d), pois , quando ele diz se e somente se , falta opções para os naturais, tipo frações racionais. Lembrando que o enunciado diz que K > 0 , logo podemos concluir que a alternativa correta ( mais adequada e completa ) é alternativa b).


Portanto , [tex3]\sqrt{K}\in \mathbb{Q}[/tex3].


Obs. Você pode também “levar” para a física, que na verdade não deixa de ser física, pois está dentro do assunto de ondulatória.

Nota

O processo de resolução da EDO y'' = - Ky é o mesmo usado para determinar x'' = - x




Bons estudos!

[Eduardo100]

Boa noite Cardoso,

E muito obrigado pela ajuda! Realmente eu me equivoquei na resolução da segunda EDO, eu esqueci da raiz de K...

Quando disse:

Ora , a condição para que uma função seja periódica é que P > 0 tal que f( x ) = f( x.P ) , onde P é o período.

eu fiquei em dúvida, pois sempre olhei para isso de outra forma, que para uma função ser periódica, f(x) = f(x + P), somando o valor de x com o período, e não multiplicando...

E entendi o que quis dizer sobre a alternativa B ser a mais adequada, mas também não compreendi totalmente, pelo fato de que, se pegar alguns alguns valores inteiros para K, como 2, por exemplo, a raiz quadrada de 2 não pertence ao conjunto dos racionais...

[Eduardo100]

E eu pensava que, para a solução de uma EDO ser periódica, basta que as raízes dela sejam apenas raízes complexas, visto que isso vai resultar em soluções envolvendo senos e cossenos. Pois se tiver parte real, terá alguma função exponencial, ou polinomial, aí não seria periódica. Isso estaria errado?