Pré-Vestibular ⇒ UFU(2006) - Função do 2°Grau

[isabellaxxx]

Considere a função f(x)=-x^2+4x-3, definida para todo número real x. As alternativas abaixo são verdadeiras, EXCETO

a) Existe um único número real y tal que o conjunto [tex3]\{x\in\mathbb{R}:f(x)=y\}[/tex3] tem exatamente um elemento
b) Para todo número real y, o conjunto [tex3]\{x\in\mathbb{R}:f(x)=y\}[/tex3] tem um ou dois elementos.
c) [tex3](-\infty,\,0)\subset\{x\in\mathbb{R}:f(x)\le 0\}[/tex3].
d) Para todo número real y>1, [tex3]\{x\in\mathbb{R}:f(x)>y\}=\emptyset[/tex3]

Resposta

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Gabarito: Letra B

[Planck]

Olá isabellaxxx,

Vamos analisar cada alternativa:

a) Existe um único número real y tal que o conjunto [tex3]\{x\in\mathbb{R}:f(x)=y\}[/tex3] tem exatamente um elemento

Conhecendo o gráfico da função do 2º grau, ou seja, uma parábola, podemos inferir que há apenas um elemento com apenas um [tex3]x \in \mathbb{R} : f(x) = y[/tex3]. Esse elemento é o [tex3]y_\text{vértice}[/tex3].

b) Para todo número real y, o conjunto [tex3]\{x\in\mathbb{R}:f(x)=y\}[/tex3] tem um ou dois elementos.

Devido ao que foi expresso na alternativa anterior, sabemos que [tex3]y_\text{vértice} \in \mathbb{R} \ | \ \exists! \ x \in \mathbb{R} : f(x) = y=y_{\text{vértice}}. [/tex3]

c) [tex3](-\infty,\,0)\subset\{x\in\mathbb{R}:f(x)\le 0\}[/tex3].

Essa alternativa está nos dizendo que existe um conjunto de valores negativos ou nulos que está contido no conjunto dos valores cuja imagem é negativa ou nula. Isso é um fato, haja vista a concavidade da parábola e suas raízes, [tex3]x_1 = 1, \ x_2 = 3[/tex3]. Ou seja, para valores de [tex3]x \leq 1 \, \, \implies \, \, f(x) \leq 0[/tex3]. Logo, podemos fazer que [tex3](-\infty , 0) < 1 \, \, \implies \, \, (-\infty , 0) \subset \{x\in\mathbb{R}:f(x)\le 0\} [/tex3].

d) Para todo número real y>1, [tex3]\{x\in\mathbb{R}:f(x)>y\}=\emptyset[/tex3]

Se, [tex3]y = \frac{-\Delta}{4 \text{a}} \, \, \implies \, \, \max y = y_\text{vértice}[/tex3]. Portanto, há [tex3]x \in \mathbb{R} : x = x_{\text{vértice}} \, \, \implies \, \, \exists \, \, x> x_{\text{vértice}} : f(x)< y_{\text{vértice}}[/tex3], se, e somente se, a concavidade da parábola for voltada para baixo, ou seja, [tex3]\text{a} < 0[/tex3]. Logo, é prudente afirmar que existe [tex3]\{x\in\mathbb{R}:f(x)>y\}=\emptyset[/tex3]. Pois, como foi expresso, há valores de [tex3]x[/tex3] que possuem uma imagem menor que a anterior.


Com isso, todas alternativas são verdadeiras, exceto a alternativa b).