Ensino Superior ⇒ Derivação implícita Tópico resolvido

[micro]

Suponha que y=f(x) seja uma função derivável implicitamente pela equação [tex3]y^3+2xy^2+x=4[/tex3]

Suponha, ainda, que [tex3]1\in D_f[/tex3]

a) calcule f(1)

b) Determine a equação da reta ao gráfico de f no ponto de abscissa 1

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

a) Se y³ + 2xy² + x = 4 , para calcular f( 1 ) , vamos substituir x por 1 , para encontrar o y que corresponde a f( 1 ), vem;

y³ + 2xy² + x = 4

y³ + 2.1.y² + 1 = 4

y³ + 2y² + 1 - 4 = 0

y³ + 2y² - 3 = 0

A única solução para essa equação é y = 1, logo , f( 1 ) = 1.




b) Para determinar a reta tangente, podemos utilizar a seguinte fórmula:

[tex3]y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})[/tex3]

Onde , [tex3]y_{0}=f(x_{0})[/tex3].

Temos que, [tex3]x_{0}=1[/tex3] e [tex3]y_{0}=1[/tex3] devemos então calcular f'( 1 ). Derivando implicitamente a função dada em relação a x ( Obs. derivada de y é f'( x ) ) , temos que

( y³ )' + ( 2xy² )' + x' = 4'

3y².y' + 2.[ x'.y² + x.( y² )' ] + 1 = 0

3y².y' + 2( y² + x.2y.y' ) + 1 = 0

3y².y' + 2y² + 4xy.y' + 1 = 0

Para [tex3]x_{0}=1[/tex3] e [tex3]y_{0}=1[/tex3]:

3.1².y' + 2.1² + 4.1.1.y' + 1 = 0

3y' + 2 + 4y' + 1 = 0

7y' = - 3

[tex3]y'=-\frac{3}{7}[/tex3]

Logo,

[tex3]f'(1)=-\frac{3}{7}[/tex3].

Assim , retomando a fórmula [tex3]y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})[/tex3] , fica;

[tex3]y-1=-\frac{3}{7}(x-1)[/tex3]

Portanto, a equação da reta tangente é dada por [tex3]y-1=-\frac{3}{7}(x-1)[/tex3].



Bons estudos!