Concursos Públicos ⇒ Quantidade de Divisores Naturais Tópico resolvido

[ANNA2013MARY]

Abaixo estão representados dois números naturais, [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] através do produto entre seus fatores primos [tex3]\alpha [/tex3], [tex3]\beta [/tex3], [tex3]\varphi [/tex3] e [tex3]\lambda [/tex3]:

[tex3]x= \alpha ^{2} \times \beta ^{5} \times \lambda ^{3}[/tex3]

[tex3]y= \beta ^{3} \times \lambda ^{2} \times \varphi ^{2}[/tex3]

A quantidade de divisores naturais positivos do número resultante do produto entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] será:

A) 24
B) 60
C) 144
D) 216
E) 486

Gostaria de entender como resolve esta questão. Obg

[MateusQqMDMOD]

Olá, ANNA2013MARY.

A quantidade de divisores naturais positivos de um número é dada pela multiplicação dos expoentes dos fatores primos somados com uma unidade ao expoente de cada fator. Por exemplo, o número [tex3]20 = 2^2 \cdot 3^1[/tex3] possui [tex3](2+1)\cdot(1+1) = 6[/tex3] divisores naturais.

Assim, vamos começar multiplicando [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] e observando seus fatos primos

[tex3]\begin{aligned}

X \cdot Y & = \alpha^2 \cdot \beta^5 \cdot \lambda^3 \cdot \beta^3 \cdot \lambda^2 \cdot \varphi^2 \\

& = \alpha^2 \cdot \beta^8 \cdot \lambda^5 \cdot \varphi^2.

\end{aligned}[/tex3]

Perceba que os expoentes são [tex3]2, \, 8, \, 5[/tex3] e [tex3]2.[/tex3] Agora basta somarmos uma unidade a cada um deles e multiplicá-los. A quantidade de divisores naturais do produto entre [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] é

[tex3](2+1)\cdot(8+1)\cdot(5+1)\cdot(2+1) = 486.[/tex3]

Resposta letra E.

[petrasMOD]

ANNA2013MARY,

Você precisa saber que:
1) Dado um número natural n, n>1, cuja forma fatorada seja n=2^x⋅3^y⋅5^z, com x, y, z, ∈ N, a quantidade de divisores de n será igual a (x+1)⋅(y+1)⋅(z+1)

2) Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b: m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.

Primeiro vamos encontrar o produto dos dois números
[tex3]\mathsf{m.d.c. = \beta ^3.\lambda ^2\\
m.m.c.=\alpha ^2.\beta ^5.\lambda ^3.\varphi ^2\\mdc . mmc =\alpha ^2.\beta ^8.\lambda ^5.\varphi ^2 \\
Divisores: (2+1).(8+1).(5+1)(2+1) = 3.9.6.3\therefore \boxed{\color{red}n.divisores=486 } }
[/tex3]

[ANNA2013MARY]

Entendi perfeitamente. Muito obg