Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória (Estudantes em Fila) Tópico resolvido

[orimatla]

De quantos modos um professor de matemática pode organizar 5 alunos em fila? De modo que os alunos A e B nunca fiquem um atrás do outro?

Resposta

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p.s. O gabarito diz que são 84 possibilidades, mas não consigo chegar neste valor

[MateusQqMDMOD]

Olá, orimatla.

Há algumas ideias para esse problema.. mostrarei uma que considero interessante.

Vamos começar a resolução organizando os outros três alunos (C, D e E).

Há [tex3]3![/tex3] modos de isso ser feito. Por exemplo, uma configuração possível é

[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
\underline{} & \text{C} & \underline{} & \text{D} & \underline{} & \text{E} & \underline{} \\
1 & & 2 & & 3 & & 4 & & \\

\end{array}[/tex3]

Agora, devemos organizar os alunos A e B nos espaços assinalados, pois estes garantem que eles nunca fiquem juntos. Há [tex3]C_4^2 = 6[/tex3] modos de escolher os lugares que serão ocupados e [tex3]2![/tex3] modos de organizá-los nesses espaços.

A resposta é [tex3]3! \times 6 \times 2! = 72.[/tex3]

Acredito que o gabarito sugerido esteja com falha.

nota: apesar de ter usado a noção de combinação, é possível resolver o problema apenas por permutação.

[Fotoeletrico]

apesar de ter usado a noção de combinação, é possível resolver o problema apenas por permutação

Dessa forma, você calcula todas as combinações possíveis usando anagrama, supomos que são os alunos A,B,C,D e E, calculamos os anagramas possíveis que são 5!, teremos 120 possibilidades.Agora, vamos tirar o que não queremos, o A e B juntos, por permutação novamente, devemos considerar A e B com um termo, ou seja, teremos os alunos AB,C,D e E, logo, teremos somente 4 termos, usando a permutação novamente, o que não queremos fica igual a 4!=24,mas há necessidade de multiplicar por dois, pois o A e B juntos podem ser AB ou BA. Portanto, tirando o que não queremos do total ficaremos 120-48=72 possibilidades.

[orimatla]

Obrigado, excelentes resoluções.

[Fotoeletrico]

Obrigado, excelentes resoluções.

De nada, estamos aqui para ti ajudar no possível