Ensino Superior ⇒ Cálculo Diferencial IV Equação Diferencial Tópico resolvido

[pacco]

Mostre que a função y= [tex3]e^{2x}[/tex3] + x [tex3]e^{2x}[/tex3] é solução da equação diferencial y'' - 4 y' + 4y =0.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Temos que [tex3]y=e^{2x}+xe^{2x} \ (I)[/tex3] , calculando y', vem;

[tex3]y'=(e^{2x})'+(xe^{2x})'[/tex3]

[tex3]y'=(2x)'.e^{2x}+(x)'.e^{2x}+x.(e^{2x})'[/tex3]

[tex3]y'=2.e^{2x}+1.e^{2x}+x.(2x)'e^{2x}[/tex3]

[tex3]y'=3.e^{2x}+x.2.e^{2x}[/tex3]

Logo,

[tex3]y'=3.e^{2x}+2x.e^{2x} \ (II)[/tex3]


Vamos agora calcular y'' , temos

[tex3]y''=(3.e^{2x})'+(2x.e^{2x})'[/tex3]

[tex3]y''=3.(2x)'.e^{2x}+(2x)'.e^{2x}+2x.(e^{2x})'[/tex3]

[tex3]y''=3.2.e^{2x}+2.e^{2x}+2x.(2x)'.e^{2x}[/tex3]

[tex3]y''=6.e^{2x}+2.e^{2x}+2x.2.e^{2x}[/tex3]

[tex3]y''=8.e^{2x}+4x.e^{2x} \ (III)[/tex3]


Assim, substituindo ( I ) , ( I I ) e ( I I I ) em y'' - 4 y' + 4y = 0 , vem

[tex3]8.e^{2x}+4x.e^{2x}-4.(3.e^{2x}+2x.e^{2x})+4.(e^{2x}+x.e^{2x})=[/tex3]

[tex3]8.e^{2x}+4x.e^{2x}-12.e^{2x}-8x.
e^{2x}+4.e^{2x}+4x.e^{2x}=[/tex3]

[tex3]12.e^{2x}-12.e^{2x}-8
x.e^{2x}+8x.e^{2x}=0[/tex3] o que mostra que [tex3]y=e^{2x}+xe^{2x}[/tex3] é solução da equação diferencial y'' - 4 y' + 4y =0. C.q.m.



Nota

A derivada de [tex3]e^x[/tex3] é [tex3]e^x[/tex3]




Bons estudos!