Física II ⇒ Dilatação Superficial

[georges123]

Um disco circular de alumínio [tex3]\(\alpha_{AL} = 24 \cdot 10^{-6}\)[/tex3] é ajustado exatamente numa cavidade, também circular, feita num bolso de aço [tex3]\( \alpha_{aço}=12 \cdot 10^{-6} \)[/tex3] à temperatura de 80ºC. Sabe-se que o raio do disco de alumínio é 5cm , a 20ºc. Determine a área da coroa vazia, a 20ºC

[gabriel123]

Bom, como a questão informou o raio do disco de aluminio à [tex3]20^{\circ}[/tex3], não precisamos usar nenhum conceito de dilatação para ela, apenas vamos ter de calcular sua área, assim:
[tex3]S= \pi r^{2}[/tex3] onde r é o raio do disco, substituindo:
[tex3]S= \pi[/tex3].[tex3]5^{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]S=25\pi cm^{2}[/tex3]

ENtretanto, o raio da cavidade de aço não foi informada na questão. Mas sabemos que é a mesma que a da coroa de alumínio, ambo à [tex3]80^{\circ}[/tex3], até porque se encaixam perfeitamente. Para descobrirmos o raio da cavidade de aço, supomos, teoricamente que o alumínio seja aquecido de [tex3]20^{\circ}[/tex3] à [tex3]80^{\circ}[/tex3], assim temos:
[tex3]\Delta R=Ri\alpha \Delta T[/tex3], onde [tex3]\Delta R[/tex3] é a dilatação do raio, [tex3]Ri[/tex3] é o raio inicial, antes de ser aquecido e [tex3]\Delta T[/tex3] é a variação de temperatura. Calculando [tex3]\Delta T[/tex3]:
[tex3]\Delta T=80-20= 60^{\circ}[/tex3] Substituindo os dados na equação da dilatação:
[tex3]\Delta R=5.24.10^{-6}.60[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta R=7,2.10^{-3}cm[/tex3]
O raio final será a soma do raio inicial com a dilatação sofrida por este, assim:
[tex3]R_{final}=R_{i}+\Delta R \rightarrow R_{final}=5,0072cm[/tex3]
O ''raio final'' calculado era na verdade o raio inicial da cavidade de aço que tinha o mesmo raio que o disco de alumínio à [tex3]80^{\circ}[/tex3], e por isso foi ''suposta'' uma dilatação do disco de alumínio de [tex3]20^{\circ}[/tex3] à [tex3]80^{\circ}[/tex3], apenas para descobrirmos o raio inicial da cavidade de aço.
Calculando a contração da cavidade de aço (de [tex3]80^{\circ}[/tex3] à [tex3]20^{\circ}[/tex3]:
[tex3]\Delta R=5,0072.12.10^{-6}.(20-80) \rightarrow \Delta R=-3,6.10^{-3}[/tex3]
O sinal negativo é justificado, pois houve contração. O raio final da cavidade de aço é:
[tex3]R_{final}=5,0072-3,6.10^{-3}\rightarrow R_{final}=5,0036cm[/tex3].
A área final da cavidade é
[tex3]S_{final}=\pi .5,0036^{2}\rightarrow S_{final}=25,036\pi cm^{2}[/tex3].
A área da coroa vazia é dada pela diferença da área da cavidade e da área do disco circular de alumínio(calculada no começo da resolução:
[tex3]S_{coroa}=S_{cavidade}-S_{disco}\rightarrow S_{coroa}=25,036\pi -25\pi[/tex3] Daí, temos:
[tex3]S_{coroa}=0,036\pi cm^{2}[/tex3] Se fazermos [tex3]\pi =3,14[/tex3], vamos achar:
[tex3]S_{coroa}=0,11304cm^{2}[/tex3]

[georges123]

Boa noite,bela resolução.Fazendo algumas comparações estaria correto eu pensar que a cavidade (em 20ºc) seria a circunferência com maior raio e o disco ( em 20ºC) seria a circunferência concêntrica com menor raio, então a coroa seria a circunferência maior menos a menor?

[gabriel123]

Sim. A área da coroa vazia é a diferença da área da cavidade e da área do disco:
[tex3]A_{coroa}=A_{cavidade}- A_{disco}[/tex3]

[L0José]

Bom dia gabriel123, gostaria de saber, se possível, o motivo de você ter calculado a dilatação do raio usando coeficiente de dilatação linear em vez de dilatação superficial.