Ensino Superior ⇒ Guidorizzi - Pré-cálculo Tópico resolvido

[mcarvalho]

Determine o "maior" conjunto A de tal modo que [tex3]\text{Im}f\subset \text{D}_g[/tex3].

a) [tex3]f:A\rightarrow R,f(x)=x+3,g(x)=\frac{2}{x+2}[/tex3]
b) [tex3]f:A\rightarrow R,f(x)=x^2,g(x)=\sqrt{x-1}[/tex3]
c) [tex3]f:A\rightarrow R,f(x)=\frac{2x+1}{x-3},g(x)=\sqrt{x-1}[/tex3]
d) [tex3]f:A\rightarrow R,f(x)=x^3-x^2,g(x)=\frac 1x[/tex3]
e) [tex3]f:A\rightarrow R,f(x)=x^2=2,g(x)=\sqrt{x^2-1}[/tex3]

Observações:
i) Aparentemente eu havia entendido o enunciado, ou pensado que sim, mas depois de olhar para o gabarito simplesmente não consegui entender as respostas. Sei da regra do fórum que não permite mais de uma pergunta na mesma questão (não sei se se aplica aqui, já que é o mesmo exercício), mas, de todo modo, já agradeço se só me explicarem o caso geral de raciocínio para resolver esta questão, e/ou resolverem apenas uma das alternativas acima, que eu tento as outras. Obrigado.
ii) R é o conjunto dos números reais. Eu o usei no gabarito também (junto com a letra 'e' como símbolo de 'pertence').

Resposta

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a)R-{5}
b){x e R / |x| >= 1}
c){x e R / x <= -4 ou x>3}
d){x e R / x != 0 e x != 1}
e)[tex3]]-\infty;-\sqrt{3}]\cup[-1;1]\cup[\sqrt{3};\infty[[/tex3]

[csmarceloMOD]

Não falta a definição da função [tex3]g[/tex3]?

[mcarvalho]

@csmarceloMOD, falta sim, muito bem lembrado!

O ponto é que eu a suprimi voluntariamente do enunciado: é que depois, o exercício pedia para achar a composta f(g(x)), e eu, como bom desatento, nem me toquei que, na primeira parte do exercício, ele queria [tex3]D_g[/tex3], e não [tex3]D_f[/tex3]. Então, sim, falta a definição de g. Alterarei no enunciado.

Já agradeço pela observação, parte do meu problema se foi, mas a outra parte continua, ainda não creio ter compreendido bem o método para solucionar a questão.

[csmarceloMOD]

Agora sim!

Inicialmente, devemos encontrar o domínio de [tex3]g[/tex3]. Feito isso, se queremos que [tex3]D(f)[/tex3] seja o maior possível, basta que [tex3]Im(f)[/tex3] seja um subconjunto impróprio de [tex3]D(g)[/tex3], ou seja, [tex3]Im(f)=D(g)[/tex3].

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a)

[tex3]D(g)=\mathbb{R}-\{-2\}[/tex3]

Logo,

[tex3]x+3\neq-2[/tex3] e, portanto, [tex3]x\neq-5[/tex3]

Assim

[tex3]A=\mathbb{R}-\{-5\}[/tex3] * acredito que o gabarito dessa alternativa esteja incorreto.

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b)

[tex3]D(g)=\{x\in\mathbb{R}|x\geq1\}[/tex3]

Logo,

[tex3]x^2\geq1[/tex3] e, portanto, [tex3]|x|\geq1[/tex3]

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c)

[tex3]D(g)=\{x\in\mathbb{R}|x\geq1\}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{2x+1}{x-3}\geq1\therefore\frac{x+4}{x-3}\geq0[/tex3] e, portanto, [tex3]x\leq-4[/tex3] ou [tex3]x>3[/tex3]

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d)

[tex3]D(g)=\{x\in\mathbb{R}|x\neq0\}[/tex3]

Logo,

[tex3]x^3-x^2\neq0\therefore x^2(x-1)\neq0[/tex3] e, portanto, [tex3]x\neq0[/tex3] e [tex3]x\neq1[/tex3]

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e)

[tex3]D(g)=\{x\in\mathbb{R}|\ |x|\geq1\}[/tex3]

Logo,

[tex3]x^2-2\geq1\therefore |x|\geq\sqrt{3}[/tex3] * também não entendi o gabarito dessa alternativa, mas, como também sou desatento, posso ter deixado passar algo.

[petrasMOD]

csmarcelo,

Sobre a letra e)
[tex3]\mathsf{Im(f)\subset D(g)}[/tex3]
O domínio de g tem uma restrição: [tex3]\mathsf{x\leq -1~ou~ x\geq 1}[/tex3]
Portanto [tex3]\mathsf{Im(f)}[/tex3] não pode assumir valore entre -1 e 1.
Dessa forma:
[tex3]\mathsf{Im(f)\geq 1~ou ~Im(f)\leq -1\\
x^2-2 \geq 1\rightarrow x<-\sqrt{3}~ou ~ x\geq \sqrt{3}\\
x^2-2\leq -1\rightarrow-1\leq x\leq 1 \\
\therefore S=]-\infty ,-\sqrt{3}]\cup [-1,1]\cup [\sqrt{3},\infty [}[/tex3]

[csmarceloMOD]

Tem razão, esqueci de considerar o módulo.