Pré-Vestibular ⇒ (UFAM 2019) Polinômios Tópico resolvido

[Albe]

Dados os polinômios [tex3]p(x)= x^4 + ax^3 + bx^2 - x[/tex3] e [tex3]q(x)= x^2 + 3x + 1,[/tex3] os valores de a e b para que exista um polinômio d tal que a igualdade [tex3]p(x)= q(x) \cdot d(x)[/tex3] seja VERDADEIRA, são:

Resposta

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Gabarito: a=2 e b= -2

[MateusQqMDMOD]

Olá, Albe.

Perceba que [tex3]0[/tex3] é raiz de [tex3]p,[/tex3] então [tex3]0[/tex3] também será raiz de [tex3]d,[/tex3] pois [tex3]q[/tex3] não adimite [tex3]0[/tex3] como raiz. Daí, escrevendo a igualdade em função da forma fatorada de [tex3]d,[/tex3] temos

[tex3]\begin{aligned}x^4 + ax^3 + bx^2 - x & = \(x^2 + 3x + 1\)\( x - 0 \)(x - c) \\ & = x^4 + (3-c)x^3 + (1-3c)x^2 -cx,\end{aligned}[/tex3]

em que [tex3]c[/tex3] é a raiz desconhecida de [tex3]d.[/tex3]

Da igualdade polinomial, obtemos o seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
a= 3 - c \\
b = 1 - 3c \\
-1 = -c
\end{cases}.[/tex3]

Da terceira equação, [tex3]c = 1,[/tex3] donde [tex3]a = 2[/tex3] e [tex3]b = -2.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

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[Albe]

Muito obrigado, Mateus!