Ensino Superior ⇒ Conceitos iniciais de limite e vizinhança

[nicolashft]

Os números da forma [tex3]1+\dfrac{1}{7n}[/tex3] se aproximam de [tex3]1[/tex3] à medida que [tex3]n[/tex3] aumenta.
Se considerarmos uma vizinhança do [tex3]1[/tex3] da forma [tex3]|x-1|<\delta[/tex3]
em que [tex3]\delta=\frac{3}{10^5}[/tex3]
vai existir então um menor número [tex3]n_0[/tex3]
tal que, a partir dele, os números da forma acima ficam todos nessa vizinhança. Qual é o valor desse [tex3]n_0[/tex3]?

Eu gostaria muito de ajuda para aprender a calcular esse número [tex3]n_0[/tex3]. Obrigado.

[Cássio]

Veja que a sequência [tex3](a_n)_n=\left(1+\frac{1}{7n}\right)_n[/tex3] é uma sequência monótona decrescente, de maneira que basta encontrar o menor [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]\left|1+\frac{1}{7n}-1\right|<\dfrac{3}{10^5}[/tex3], ou seja, [tex3]n_0=\left\lceil \dfrac{10^5}{21}\right\rceil.[/tex3] Como [tex3]\dfrac{10^5}{21}=4761.9047619[/tex3], então [tex3]n_0=4762.[/tex3]