IME / ITA ⇒ (IME 1957/1958) Trigonometria

[manerinhu]

Determinar as relações que devem existir entre os ângulos M, N e P, para que se verifique a igualdade:

[tex3]cos^2 M+cos^2 N+cos^2P+2\cdot cosM \cdot cos N \cdot cos P =1[/tex3]

fiquei curioso pela solução "correta"
eu fiz aqui mas não tem nenhum "fundamento" matemático e, por isso, talvez não fosse considerada correta
além disso, podem me apontar os erros dela? obrigado


[tex3]cos^2 M+cos^2 N+cos^2P+2\cdot cosM \cdot cos N \cdot cos P =1[/tex3]

[tex3]cos^2 M+cos^2 N+cos^2P = 1[/tex3] - sempre dará maior ou igual a zero (nao temos cosseno/seno com i)
[tex3]2\cdot cosM \cdot cos N \cdot cos P =0[/tex3] (separando os termos)

ai pensei, "se a segunda deve dar zero, um cosseno deve dar zero, logo ele deve medir 90º", exemplo o angulo P

logo temos:
[tex3]cos^2 M+cos^2 N = 1[/tex3]

ai imaginei esses angulos do ciclo trigonometrico:

angulos.PNG (2.13 KiB) Exibido 1727 vezes

pegando a fórmula fundamental e alterando ela um pouco, teremos:
[tex3]cos^2 M+sen^2 M = 1[/tex3]
alterando (visualizando na imagem também)
[tex3]cos^2 M+cos^2 N = 1[/tex3]

está provado que os angulos M, N e P devem somar 180º para a relação tornar-se verdadeira


(desculpem se fiz alguma "ofensa matematica" rs mas foi uma forma que pensei em resolver)

[poti]

Não entendi a lógica do [tex3]cos^2 M+cos^2 N+cos^2P = 1[/tex3]. Pode muito bem ser maior; pode valer até 3.

[theblackmamba]

Veja que podemos trasformar a nosssa equação em:

[tex3](cosM+cosN+cosP)^2=1[/tex3]

Mas daí ainda não pensei em sair daí. Depois volto aqui!

[manerinhu]

Não entendi a lógica do [tex3]cos^2 M+cos^2 N+cos^2P = 1[/tex3]. Pode muito bem ser maior; pode valer até 3.

claro que pode valer até 3, então a outra expressão
[tex3]2\cdot cosM \cdot cos N \cdot cos P =0[/tex3]
deverá valer -2 para que a soma delas resulte em 1

[tex3]2\cdot cosM \cdot cos N \cdot cos P = -2[/tex3]

[tex3]\cdot cosM \cdot cos N \cdot cos P = -1[/tex3]

e, nesse caso, todos deverão valer 1 ou -1 para que alcancem, na multiplicaçao, o valor -1, já que o valor máximo do cosseno é 1 e todos os outros são menores (e também definimos que a soma do quadrado dos cossenos deve dar 3, o que faz com que cada cosseno tenha módulo igual a 1)
ex:
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} < 1[/tex3]

então, para que a multiplicaçao dos três dê um valor negativo, uma quantidade impar de cosseno deverá ser -1 (ou seja, ou 1 ou 3 cossenos deverão ter o valor -1)
cosseno -1 equivale ao angulo de 180º
no primeiro caso (1 cosseno negativo), teremos: cos 180 * cos 0 * cos 0 = -1, o que faz com que a soma dos angulos seja igual a 180
no segundo caso (3 cossenos negativos), teremos: cos 180 * cos 180 * cos 180 = -1, que faz, denovo, com que a soma dos angulos seja igual a 180

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Vou realizar uma demonstração aqui, todavia ela está incorreta para essa questão e, portanto, gostaria que alguém a completasse, pois não consegui.

Não podemos supor sem perda de generalidade que M N e P são ângulos de um triangulo. Isso seria provar algo usando a conclusão da prova. Todavia, iremos chegar na resposta que
[tex3]M+N+P=\pi [/tex3]

Pois bem, vamos lá:
[tex3]
cos2x = cos^2x-sen^2x= 2cos^2x-1 \rightarrow cos^2x=\frac{1+cos2x}{2} \\
Assim, \\
cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{3+cos2A+cos2B+cos2C}{2} [/tex3]

Guardamos essa informação.

Para seguirmos, precisamos saber que A B e C são ângulos de um triângulo. Eis a parte em que a demonstração quebra. Estou demonstrando que essa equação é válida para triângulos. Não sei generalizá-la.
Desse modo, seguimos:

[tex3]
cos 2A+cos2B+cos2C= 2cos(A+B)cos(A-B)+cos^2C-1 \\
= 2cos(\pi -C)cos(A-B)+2cos^2C-1 \\
=-2cosCcos(A-B)+2cos^2C-1 \\
= 2cosC[cosC-cos(A-B)] \\
Prostaférese \\
= -1 - 4cosA.cosB.cosC
[/tex3]

Com a informação que já tinhamos,

[tex3]
\begin{cases}
cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC \\
cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{3+cos2A+cos2B+cos2C}{2}
\end{cases}

cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{3-1-4cosAcosBcosC}{2} \\
cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosAcosBcosC \\
Portanto \\
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1 \\
[/tex3]

Conforme eu disse, essa demonstração serve para provar que essa equação vale para A+B+C= 180º (ESSA EQUAÇÃO É UMA PROPRIEDADE DE TRIÂNGULOS)
Todavia, a resposta do problema em questão é que essa equação vale para kpi.

Se alguém conseguir generalizar, agradeço.

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Terminei de resolver:
Analisando que a expressão usa apenas cossenos, precisamos relembrar da periodicidade da função cosseno. Provamos, com o mostrado, que essa expressão é válida para um triângulo (M+N+P=pi). Pela periodicidade da função cosseno, podemos generalizar essa demonstração para
M + N + P = pi + 2kpi (ISSO DECORRE DA PERIODICIDADE DA FUNÇÃO COSSENO. A EXPRESSÃO É APENAS EM FUNÇÃO DO COSSENO).
Isso é a mesma coisa que
M + N + P = (2k+1)pi
Com isso provamos que a expressão é válida para todo (2k+1)pi, ou seja, para pi, 3pi, 5pi, 7pi... Resumindo: para todo múltiplo ímpar de pi!!

Acredito que o gabarito esteja errado, pois para múltiplos pares de pi não ocorre igualdade na expressão.

[Al3]

Zhadnyy, dê uma olhada na solução do meu colega desta questão.

https://youtu.be/OVVF_JiCQNg

[Auto Excluído (ID: 23699)]

@Al3

Muito obrigado