Ensino Superior ⇒ edo exata Tópico resolvido

[meire22x]

[tex3]ye^{xy}dx+xe^{xy}dy=0[/tex3]

Resposta

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[tex3]e^{xy}=C[/tex3]

[poisedom]

[tex3]ye^{xy}dx+xe^{xy}dy=0[/tex3]
dividindo tudo por [tex3]e^{xy}[/tex3]
[tex3]ydx+xdy=0[/tex3]
[tex3]xdy=-ydx[/tex3]
[tex3]\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}[/tex3]
[tex3]ln(y)=-ln(x)+C_1[/tex3]
[tex3]ln(x)+ln(y)=C_1[/tex3]
[tex3]ln(x.y)=C_1[/tex3]
[tex3]x.y=e^{C_1}[/tex3]
[tex3]x.y=C_2[/tex3]
[tex3]e^{x.y}=e^{C_2}[/tex3]
[tex3]e^{x.y}=C[/tex3]

[Shadowgal99]

Primeiro pra equação ser exata precisamos provar que as equações são do tipo:

[tex3]P (x,y) +Q (x,y) y' = 0[/tex3], onde

[tex3]\frac{∂P}{∂y} =\frac {∂Q} {∂x} [/tex3]

Se dividirmos ambos os membros por ([tex3]dx[/tex3]), teremos:

[tex3]ye^{xy} + xe^{xy} y'[/tex3]
Ou seja:

[tex3]P = ye^{xy}[/tex3] E

[tex3]Q = xe^{xy}[/tex3].

Derivando [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] temos:

[tex3]\frac {∂P}{∂y} = e^{xy} + xye^{xy}[/tex3]#regra do produto, #regra da cadeia

[tex3]\frac{∂Q}{∂x} = e^{xy} + xye^{xy} [/tex3]

Ou seja, a equação é exata.

Como [tex3]P (x,y) =\frac { ∂φ}{ ∂x}[/tex3]

E [tex3]Q (x,y) = \frac {∂φ}{∂y}[/tex3];

A resposta da equação exata é algo nesse sentido:

[tex3]φ(x,y) = C [/tex3]

Para isso precisamos integrar [tex3]P[/tex3] em relação a [tex3]x[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] em relação a [tex3]y[/tex3], vamos ver como fica:


[tex3]φ = ∫ P dx + k (y) [/tex3] e

[tex3]φ = ∫ Q dy + h (x)[/tex3];


[tex3]φ = ∫ ye^{xy} dx + k (y) [/tex3], vendo [tex3]y[/tex3] como uma constante temos o seguinye resultado:



[tex3]φ = \frac {y}{y} e^{xy} + k (y) [/tex3]


[tex3]φ = e^{xy} + k (y) [/tex3].

Se fizermos a integral de [tex3]P[/tex3],


[tex3]φ = ∫ Q dy + h (x) [/tex3]


[tex3]φ = e^{xy}+ k (y) [/tex3],

Como as duas deram mesmo resultado, nós chegamos a conclusão que:


[tex3]φ = e^{xy} = C [/tex3]


Claro, isso só confirma a resposta do nosso amigo acima, mas é bom termos vários métodos de resolução em nossas mãos, bons estudos.