Ensino Médio ⇒ (CESCEA-73) Inequação do 2º Grau Tópico resolvido

[Tulio150]

Se (x-a)/(x^2+1)<(x+a)/(x^2), para todo x [tex3]\neq [/tex3] 0, então:

a) a<-[tex3]\sqrt{2}[/tex3]/2
b) a>[tex3]\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex3]
c) -[tex3]\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex3]<a<[tex3]\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex3]
d) não sei

Boa tarde.
Não achei a resposta certa. Alguém pode me ajudar?
Obrigado pela atenção.

Resposta

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b)

[Planck]

Olá, Tulio150.

A expressão é [tex3]\frac{x-a}{x^2 + 1} < \frac{x+a}{x^2}[/tex3]? Se for isso, manipulando a equação, obtemos que:

[tex3]\frac{-2ax^2 + x -a }{x^2 + 1}< 0 \implies -2ax^2 + x -a < 0 \implies \begin{cases}
\Delta >0, ~ -\frac{\sqrt{2}}{4} < a < \frac{\sqrt 2}{4} \\
\Delta = 0, ~ a = \pm \frac{\sqrt 2}{4} \\
\Delta < 0, ~ a < -\frac{\sqrt 2}{4}, ~a> \frac{\sqrt{2}}{4} \end{cases}[/tex3]

No entanto, note que temos um inequação quociente que precisa ser menor que zero, isso irá acontecer quando tivermos uma razão da forma [tex3]\frac{+}{-}[/tex3] ou [tex3]\frac{-}{+}[/tex3]. Para o primeiro caso, como equação quadrática possui [tex3]a < 0[/tex3], note que, se o [tex3]\Delta > 0, f(x) > 0 \to x_1 < x < x_2 [/tex3], no entanto, a intersecção será vazia, pois o denominador fornece raizes da forma [tex3]x \in \mathbb C[/tex3], logo, fica notável que precisamos do [tex3]\Delta < 0 ~ | ~ f(x) < 0 \to \forall x \in \mathbb R[/tex3], de tal forma que vamos utilizar apenas os valores positivos para a equação no denominador, obtendo uma razão da forma [tex3]\frac{-}{+} \implies k < 0.[/tex3] Assim, [tex3]a > \frac{\sqrt 2}{4}.[/tex3]

[Tassandro]

Desenvolvendo a expressão dada na questão e após algumas simplificações algébricas, acharemos:
[tex3]\frac{-2ax^2-x-a}{x^2(x^2+1)}<0[/tex3]
Agora, note que para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3], o denominador sempre será positivo. Assim, o numerador da fração deve ser negativo para que a fração seja menor do que 0.
Agora, veja que temos uma função do segundo grau em x no numerador. Para que essa função seja negativa para qualquer valor de x, precisamos das seguintes condições:
coeficiente que multiplica o termo [tex3]x^2<0[/tex3] e [tex3]Δ<0[/tex3]
Como o termo que multiplica [tex3]x^2[/tex3] é [tex3]-2a[/tex3], temos que a é um número positivo.
Agora, faremos [tex3]Δ<0[/tex3]
[tex3]\implies 1-8a^2<0\implies |a|>\frac{\sqrt2}{4}\implies a>\frac{\sqrt2}{4}[/tex3], já que [tex3]a>0[/tex3].
Caso você não tenha entendido algum procedimento, recomendo a leitura:
https://www.google.com/amp/s/m.brasiles ... sinais.htm

[Tulio150]

" coeficiente que multiplica o termo com [tex3]x^2[/tex3]". Essa é a chave que estava faltando para mim!

Obrigado Tassandro.