IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1995) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A que distância do vértice de um triângulo equilátero de lado igual a [tex3]6\text{ cm}[/tex3] deve-se traçar uma reta paralela à base, de forma que o quadrilátero assim obtido seja circunscritível?

(A) [tex3]\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]
(B) [tex3]2\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]
(C) [tex3]3\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]
(D) [tex3]4\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]
(E) [tex3]5\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

A condição para um quadrilátero ser circunscritível (estar apto a ser colocado circunscrito a uma circunferência) é ter a soma dos comprimentos de lados paralelos iguais. Ou seja, o quadrilátero abaixo:

quad.GIF (1.66 KiB) Exibido 2301 vezes

Será circunscritível se [tex3]a+c=b+d[/tex3].

Na situação deste exercício:

tri.GIF (3.39 KiB) Exibido 2297 vezes

Podemos fazer a semelhança de triângulos entre os triângulos ABC e EDC:

(1) [tex3]\frac{6}{y}=\frac{6}{x}[/tex3]

E pela condição de ABDE ser circunscritível, podemos escrever:

(2) [tex3]6-x+6-x=6+y[/tex3]

Com estas duas equações formamos o sistema de equações:

[tex3]\{\frac{6}{y}=\frac{6}{x}\\6-x+6-x=6+y[/tex3]

[tex3]\{x=y\\2x+y=6[/tex3]

As respostas para este sistema serão:

[tex3]x=y=2[/tex3]

Mas o exercício pede a altura [tex3]h[/tex3].

[tex3]h=\frac{2\sqrt 3}{2}=\sqrt 3[/tex3]