Ensino Médio ⇒ (CESCEA-72) Inequação 2º Grau

[Tulio150]

Para que a equação [tex3]x^2 + (2-a)x -(3a-1) = 0[/tex3] admita duas raízes reais distintas no intervalo [-2,3] devemos ter:

a) [tex3]-8\leq a\leq 0[/tex3]
b) [tex3]a < -8 [/tex3] [tex3]ou [/tex3] [tex3]a >0[/tex3]
c) [tex3]0 < a \leq 1 [/tex3]
d) [tex3]0 < a \leq \frac{16}{6}[/tex3]
e) não sei

Fiz e refiz esta questão utilizando as condições para a posição de um número real [tex3]\alpha [/tex3] em relação as raízes [tex3](x_{1}, x_{2})[/tex3]) da equação de 2º grau

[tex3]2\leq x_{1} < x_{2} \leq 3[/tex3]
[tex3]a.f(\alpha ) >0[/tex3] e [tex3]\Delta >0[/tex3]
[tex3]1.f(2)\geq 0 [/tex3], [tex3]1.f(3)\geq 0[/tex3] e [tex3]\Delta >0[/tex3]

Não achei a alternativa
Alguém sabe resolver essa questão
Obrigado pela atenção

Resposta

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c)

[Tassandro]

@Tulio150, qual é, de fato, o intervalo das raízes? No seu comentário você colocou um intervalo diferente do que você pôs na questão. Confirme o intervalo.

[Tulio150]

QUESTÂO:
(CESCEA-72) Para que a equação [tex3]x^2 + (2-a)x - (3a-1) = 0[/tex3] admita duas raízes reais distintas no intervalo [2,3] devemos ter:

a) [tex3]-8\leq a\leq 0[/tex3]

b) [tex3]a< -8[/tex3] ou [tex3]a>o [/tex3]

c) [tex3]0 < a \leq 1[/tex3]

d) [tex3]0 < a \leq \frac{16}{6}[/tex3]

e) não sei

[Tassandro]

Usando a condição de que
[tex3]Δ>0\implies a<-8\space \text{ou}\space a>0[/tex3]
Usando a condição de [tex3]2\leq x_1[/tex3], temos que
[tex3]1\cdot f(2)\geq0\implies 4+2-2a-3a+1\geq0\implies a\leq\frac{7}{5} [/tex3]
Fazendo [tex3]1\cdot f(3)\geq0[/tex3], temos
[tex3]9+6-3a-3a+1\geq0\implies a\leq\frac{16}{6}[/tex3]

Do jeito que está, a resposta é [tex3]0< a\leq \frac{7}{5}.[/tex3]
Espero ter ajudado, @Tulio150.

[Tulio150]

Ajudou sim

Provavelmente algum erro na digitação da questão TA.186(CESCE-72) Volume 1, Fundamentos da Matemática, Iezi

[Tassandro]

Perdão, @Tulio150, esqueci de outras condições. Como as raízes estão nesse intervalo, a média aritmética delas também estará. Logo, sendo [tex3]S=-\frac{b}{a}[/tex3], temos que [tex3]\frac{S}{2}\geq2\implies a-2\geq4\iff a\geq6[/tex3]
E [tex3]\frac{S}{2}\leq3\implies a-2\leq6\iff a\leq8[/tex3]
Agora devemos fazer a interseção de todos os intervalos que encontramos para [tex3]a[/tex3], o que nos dá o conjunto vazio.