Pré-Vestibular ⇒ UFSCar- Polinômio Tópico resolvido

[andrezza]

Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x⁵ – 5x⁴ – 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.

Resposta

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1

[deOliveira]

Usando as relações de Girard temos que a soma das raízes é [tex3]-\frac{-5}5=1[/tex3]

Lembrando que essa relação da soma das raízes é:

[tex3]p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n[/tex3]

Então a soma das raízes de [tex3]p[/tex3] é [tex3]-\frac{a_1}{a_0}[/tex3].

[MateusQqMDMOD]

Oi, andrezza.

Por inspeção, 1 é raiz de [tex3]p(X)[/tex3] e por Briot-Ruffini chegamos em [tex3]p(X) = (X-1)(5X^4 - 80).[/tex3] Agora, é fácil ver que as outras raízes reais de p(X) são obtidas a partir de [tex3]5X^4 - 80 = 0,[/tex3] donde [tex3]X = -2[/tex3] ou [tex3]X = 2.[/tex3]

A resposta é [tex3]1 - 2 + 2 = 1.[/tex3]

nota: sabemos também que a outra raiz de p(X) é [tex3]-2i,[/tex3] pois é o conjugado de [tex3]2i.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

deOliveira, o enunciado é um pouco capcioso.

O pedido é a soma das raízes reais.

[deOliveira]

deOliveira, o enunciado é um pouco capcioso.

O pedido é a soma das raízes reais.

É verdade, é verdade. Eu fui respondendo no impulso e nem reparei nisso, obrigada.
Eu estava também escrevendo a resposta encontrando todas as raízes, mas você já fez.
Muito obrigada, me perdoem o vacilo.

[Planck]

Outra solução, utilizando o Teorema das Raízes Racionais:

[tex3]5x^5 - 5x^4 - 80x + 80 =0 \iff x^5 - x^4 - 16 x + 16 = 0 [/tex3]

O Teorema nos diz que se [tex3]a_n, a_0 \ne 0[/tex3] e se a equação admite o número racional [tex3]\frac{p}{q}[/tex3] como raiz, com [tex3]p \in \mathbb Z, q \in \mathbb Z^*[/tex3], então, [tex3]a_0~ | ~ p[/tex3] e [tex3]a_n~|~q[/tex3]. Assim, podemos fazer:

[tex3]\frac{p}{q} = \pm \frac{1,2,4,8,16}{1}[/tex3]

Testando os possíveis valores:

[tex3]\begin {cases}
(1)^5 - (1)^4 - 16\cdot (1) + 16 =0 \\
(-1)^5 - (-1)^4 - 16 \cdot (-1) + 16 \neq 0 \\
(2)^5 - (2)^4 - 16 \cdot (2) + 16 = 0 \\
(-2)^5 - (-2)^4 - 16 \cdot (-2) + 16 =0
\end{cases}[/tex3]

Agora, como [tex3]2i[/tex3] e seu conjugado são raízes, então podemos parar o teste, pois já encontramos todas as raízes, haja vista o grau do polinômio. Com isso, as raízes são:

[tex3]\text S = \{1,2, -2, 2i, -2i \}[/tex3]

A soma das raízes resulta em [tex3]1.[/tex3]