Ensino Superior ⇒ Limite fundamental : Limite exponencial

[Natan]

Prove que:

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}\(1+\frac{1}{x}\)^x=e[/tex3]

[triplebig]

Esta é a definição do número [tex3]e[/tex3]... agora se quiser provar usando a definição que a definição se mantém pode-se usar o teorema do confronto, estipulando dois valores [tex3]n[/tex3] e [tex3]n+1[/tex3] tais que [tex3]n\leq x\lt n+1[/tex3] . É isso que o problema quer?

[jneto]

Boa noite,

Não é um resultado construtivo, o que se pode fazer é provar que o limite existe e que o valor do mesmo está entre 2 e 3. Os bons livros de cálculo elementar apresentam a demonstração, por exemplo :

Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 8


Fiquem com Deus

[Natan]

A questão quer que o candidato prove que o limite da função [tex3](x+\frac{1}{x})^x[/tex3] quando [tex3]x[/tex3] tende ao infinito existe e é igual ao número [tex3]e.[/tex3]

quanto ao meio de fazer isso eu realmente não sei, não teria como ser por L'Hospital?

[jneto]

Boa noite,

Não pode ser calculado analiticamente (de primeiros princípios), é como eu já disse, se mostra que o limite existe, e que o mesmo está entre 2 e 3.
Depois, quando se constrói o conceito de expansão em série, e se aplica para o caso da função [tex3]f(x) = e^{x}[/tex3], obtemos:

[tex3]\boxed{e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ...}[/tex3]


Fique com Deus