IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1999) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O produto das soluções da equação
[tex3]2\sen^3x+5\cos^2x+4\sen x+2\tg^2x=4+2\sec^2x[/tex3], no intervalo [tex3]\left[\frac{\pi}{12},\,\frac{5\pi}{6}\right[[/tex3] é:

(A) [tex3]\frac{5\pi^2}{12}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{\pi^3}{12}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{5\pi^3}{72}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{\pi^2}{6}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{\pi^2}{12}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Não consegui achar nenhuma das alternativas. Veja minha resolução.

[tex3]2\sen ^3x+5\cos^2x+4\sen x+2tg^2x=4+2sec^2x[/tex3]

Vamos transformar tudo em [tex3]\sen (x)[/tex3]:

[tex3]2\sen ^3x+5[1-\sen ^2(x)]+4\sen x+2\cdot\frac{\sen ^2(x)}{[1-\sen ^2(x)]}=4+\frac{2}{[1-\sen ^2(x)]}[/tex3]

Arrumando esta expressão, chegamos na seguinte equação:

[tex3]{-}2\sen ^5(x)+5\sen ^4(x)-2\sen ^3(x)-4\sen ^2(x)+4\sen (x)-1=0[/tex3]

Fazendo a substituição de [tex3]\sen (x)=Y[/tex3]

[tex3]{-}2Y^5+5Y^4-2Y^3-4Y^2+4Y-1=0[/tex3]

Fatorando-a

[tex3]{-}2(Y-1)^3(Y+1)\(Y-\frac 12\)=0[/tex3]

Portanto, as raízes são [tex3]Y=1[/tex3], [tex3]Y=-1[/tex3] e [tex3]Y=\frac 12[/tex3]

Note que a equação original continha as funções [tex3]\tan(x)[/tex3] e [tex3]\sec(x)[/tex3], ou seja, dentro do intervalo definido ainda devemos excluir o valor [tex3]x\ne\frac\pi 2\rightarrow Y\ne1[/tex3]. E, também pelo intervalo de [tex3]x[/tex3], sabemos que [tex3]Y\gt0[/tex3]

Sendo assim, a única raiz que nos sobra é [tex3]Y=\frac 12\rightarrow \sen (x)=\frac{1}{2}\rightarrow x=\frac{\pi}{6}[/tex3]

No intervalo pedido, temos somente uma raiz.

Se alguém encontrar algum erro na minha solução, por favor, poste aqui.

[mvgcsdf]

Mestre Caju:
o desenvolvimento está todo certo, menos o desfecho.
Vejamos...
O enunciado pede o produto das soluções no intervalo [15º, 150º[ (optei por fazer a transformação de pi para graus).
Se Y = 1, senx= 1, x = 90º. Logo: x=[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] (1).
Se Y = 1-, senx = -1 e x = 270º - está fora do intervalo pedido pelo examinador.
Se Y = 1/2, sen x = 1/2 e x = 30º. Logo: x=[tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3] (2).
Logo, o produto das soluções será: [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] x [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3]

RESPOSTA: [tex3]\frac{\pi^{2}}{12}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá mvgcsdf,

Veja que a raiz [tex3]Y=1[/tex3] foi uma das que eu ponderei no meio da resolução.

Não podemos ter [tex3]Y=1[/tex3] pois resulta em [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3]. Vamos substituir [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3] na equação original do enunciado:

[tex3]2\sen ^3\(\frac{\pi}{2}\)+5\cos^2\(\frac{\pi}{2}\)+4\sen x+2\tg^2\(\frac{\pi}{2}\)=4+2\sec^2\(\frac{\pi}{2}\)[/tex3]

Note que, na expressão acima, dois termos não existem. Vou grifá-los para que veja:

[tex3]2\sen ^3\(\frac{\pi}{2}\)+5\cos^2\(\frac{\pi}{2}\)+4\sen \(\frac{\pi}{2}\)+2\overbrace{\boxed{\tg^2\(\frac{\pi}{2}\)}}^{\text{não existe}}=4+2\overbrace{\boxed{\sec^2\(\frac{\pi}{2}\)}}^{\text{não existe}}[/tex3]

Por isso que [tex3]Y=1[/tex3] não pode ser raiz do polinômio, fazendo com que tenhamos somente a raiz [tex3]x=\frac{\pi}{6}[/tex3]

Devemos sempre atentar para o fato de que ao modificarmos uma expressão, poderemos estar inserindo raízes estranhas. Que é o que aconteceu aqui.

[mvgcsdf]

Mestre Caju:
penso que deveríamos simplificar a expressão inicial até a expressão final, que foi exatamente o que vc fez.
Acho que o examinador quis que trabalhássemos a partir daí e tirássemos conclusões a partir daí, embora eu também esteja de acordo com o que vc fez, pois deveríamos substituir na
O pior é que o gabarito é letra E mesmo...

[cajuADMIN]

Olá mvgcsdf,

Tenho minhas ressalvas ao pensar que um examinador da Escola Naval cometeria um erro desses. E, mesmo que cometesse ao produzir a prova, durante a resolução já estaria mudado o gabarito para n.d.a (se houvesse) ou anulado a questão. A Escola Naval divulga gabarito oficial? Ou é que nem o ITA, que não divulga? Se não divulgar, esse gabarito é fruto de resolução de professores de cursinho, que pode estar errado muitas vezes.

E, também, se foi divulgado gabarito oficial o argumento apresentado seria mais do que suficiente para anular a questão.

Repito novamente o que disse antes, ao manipular uma equação, muitas vezes inserimos raízes estranhas que devem ser retiradas testando-se na equação original, a do enunciado.

[mvgcsdf]

Caju, pelo que sei a EN sempre divulgou seu gabarito oficial.
Aliás, a prova deste ano teve uma questão que, por fim, acabou tendo duas opções.
O gabarito que eu tenho é o oficial, divulgado pela própria DENSM.
Agora, algumas bancas examinadoras costumam ser intransigentes. Não sei se é o caso da EN.
Abs

[jvmago]

Mestre Caju acho que o examinador não queria a transformação em tangente. Observe minha resolução:

[tex3]2\sen ^3x + 5\cos ^2x +4\sen x +2\tg^2x = 4+2\sec^2x[/tex3]

Sabemos que [tex3]\sec^2x = \tg^2x+1[/tex3] e que [tex3]\cos ^2x=1-\sen ^2x[/tex3] substituindo

[tex3]2\sen ^3x + 5(1-\sen ^2x) +4\sen x +2\tg^2x = 4+2(\tg^2x+1)[/tex3]
[tex3]2\sen ^3x + 5-5\sen ^2x +4\sen x +2\tg^2x = 4+2\tg^2x+2[/tex3]

perceba que a tangente cancela, fazendo um substituição [tex3]a=\sen x[/tex3] teremos:

[tex3]2a^3-5a^2+4a-1=0[/tex3]

a soma dos coeficientes é 0 logo 1 é raiz (não sei demonstrar por latex a divisão).

após dividir teremos a expressão [tex3]2a^2-3a+1=0[/tex3] e de novo 1 é raiz. Ao final de um segunda divisão
teremos o seguinte polinômio: [tex3]\(a-1\)^2\cdot\(a-\frac{1}{2}\)=0[/tex3]

logo [tex3]\sen x=\frac{1}{2}[/tex3] pela restrição dada, o único valor possível é [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3]


ou [tex3]\sen x=1[/tex3] pela restrição dada, o único valor possível é [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

aplicando o produto obtemos [tex3]\frac{\pi ^2}{12}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá jvmago,

Independente do que o examinador queria no momento que gerou a questão, ele não pode modificar a matemática.

Quando estamos procurando as soluções de uma equação, estamos procurando os valores da incógnita que, ao substituir na equação, torna verdade.

Veja um exemplo: a equação [tex3]x(x-2)=0[/tex3] tem as soluções [tex3]x=2[/tex3] e [tex3]x=0[/tex3] pois, ao substituir na equação original, temos uma verdade, [tex3]2\cdot (2-2)=0\rightarrow \boxed{0=0}[/tex3] ou [tex3]0\cdot (0-2)=0\rightarrow \boxed{0=0}[/tex3]

Outro exemplo: a equação [tex3]\frac{x(x-2)}{x}=0[/tex3] tem quais soluções? Apenas [tex3]x=2[/tex3], pois [tex3]x=0[/tex3] gera uma indefinição na equação original [tex3]\frac{0}{0}[/tex3], impossibilitando ter a resposta [tex3]x=0[/tex3].

Na questão desse tópico, a solução [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3] não pode ser utilizada. Veja como fica a equação original ao substituir [tex3]x[/tex3] por [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]2\sen ^3\(\frac{\pi}{2}\)+5\cos^2\(\frac{\pi}{2}\)+4\sen \(\frac{\pi}{2}\)+2\overbrace{\boxed{\tg^2\(\frac{\pi}{2}\)}}^{\text{nao existe}}=4+2\overbrace{\boxed{\sec^2\(\frac{\pi}{2}\)}}^{\text{nao existe}}[/tex3]

Ou seja, temos uma indefinição em [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3].

Reitero, novamente, que devemos sempre analisar a equação original no final da resolução. Pois, ao manipular a expressão, introduzimos raízes estranhas, que devem ser eliminadas da solução final.

Grande abraço,
Prof. Caju

[jvmago]

poxa, achei que essa inderteminação seria retirada com aquela simplificação