IME/ITA ⇒ (ITA-SP) MHS Tópico resolvido

[triplebig]

A equação [tex3]x=1,0\text{sen}(2,0t)[/tex3] expressa a posição de uma partícula em unidades do sistema internacional. Qual seria a forma do gráfica [tex3]v[/tex3] (velocidade) x [tex3]x[/tex3] (posição) desta partícula?

Resposta

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Elipse .... como????

[Thales Gheós]

Esta é uma questão muito difícil.

se [tex3]x=1,0\sen(2t)[/tex3], teremos que [tex3]\frac{\delta{}x}{\delta{}t}=v(t)[/tex3], portanto [tex3]v=2,0\cos(2t)[/tex3]. Assim [tex3]v(t)[/tex3] e [tex3]x(t)[/tex3] são equações paramétricas e polares.

[tex3]\begin{cases}x=1,0\sen(2t)\\v=2,0\cos(2t)\end{cases}[/tex3]

cujo gráfico é uma elipse de semi-eixos iguais a [tex3]1[/tex3] e [tex3]2[/tex3]:

trok_gif.GIF (2.59 KiB) Exibido 5505 vezes

[triplebig]

Eu entendi as equações de [tex3]v[/tex3] e de [tex3]x[/tex3] , mas porque seu produto é uma elipse? Não consegui entender esta parte.

[marco_sx]

Fala triplebig, blz?

Acho que fica mais fácil de ver assim:

[tex3]\begin{cases}2x=2sen(2t)\\v=2cos(2t)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}4x^2=4sen^2(2t)\\v^2=4cos^2(2t)\end{cases}[/tex3]

Somando as duas equações:

[tex3]v^2+4x^2=4 \Rightarrow \frac{v^2}{4}+x^2=1[/tex3] que é a equação de uma elipse

Falow!

[triplebig]

Iae marco_sx

Eu entendi a transformação, mas você somou as equações. O problema não queria saber o produto delas? O que eu consegui descobrir foi tratando as equações como paramétricas, isolando o [tex3]t[/tex3] nas duas e igualando-as. Isso chega no mesmo resultado, só que eu não entendi porque você pôde simplesmente somar as equações.

[Jhonatan]

Como resolver sem derivada ? Tem como resolver apenas com conteúdos do EM ?

[UrgenteSimans]

Como resolver sem derivada ? Tem como resolver apenas com conteúdos do EM ?

Assumindo que a partícula descreve um mhs
pegamos a função do espaço x=seno(2t) e escrevemos o seno como o cosseno do seu complementar : x=cosseno([tex3]\pi [/tex3] /2 -2t)
ai comparamos com a função do do espaço do mhs X=A.cosseno([tex3]\theta [/tex3] i +Wt) para descobrir o a amplitude (A) e a velocidade angular (W)
e escrevemos a função da velocidade do mhs independente do tempo [tex3]V^{2}[/tex3] =[tex3]W^{2}[/tex3] . ([tex3]A^{2} - X^{2}[/tex3]) substituindo os valores de A e W
ai temos [tex3]V^{2}[/tex3] =4 . (1 - [tex3]X^{2}[/tex3])
Arrumando temos :
[tex3]\frac{V^{2}}{4} + X^{2}[/tex3]= 1
então o gráfico é uma elipse