Ensino Fundamental ⇒ Simetria de rotação e reflexão 2

[jeabud]

A Maria desenhou uma figura com n, n [tex3]\in N[/tex3] simetria de reflexão.
Quantas simetrias de rotação tem a figura que a Maria desenhou?
Gab: n tenho

[petrasMOD]

No caso de um polígono regular, o número de eixos de simetria de reflexão é igual ao número de lados. Por exemplo, um quadrado (4 lados) tem 4 eixos de simetria. Um pentágono regular (5 lados) tem 5 eixos de simetria.

Uma figura com n eixos de simetria de reflexão é, por definição, uma figura com n lados iguais e n ângulos iguais, ou seja, um polígono regular de n lados.

Em um polígono regular de n lados, o número de simetrias de rotação é exatamente igual ao número de lados.
A simetria de rotação acontece quando você gira uma figura e ela parece exatamente igual a como era antes. A menor rotação possível para que isso aconteça é 360 graus dividido pelo número de lados(n), ou seja, 360/n

Se a figura de Maria tem n simetrias de reflexão, ela é um polígono regular de n lados, e, portanto, tem n simetrias de rotação.

A figura tem **n** simetrias de rotação. Cada uma dessas simetrias corresponde a um giro diferente:

A 1ª simetria de rotação é o giro de [tex3]\frac{360}{n} [/tex3]graus.
A 2ª simetria de rotação é o giro de [tex3]\frac{2 \times 360}{n}[/tex3] graus.
A 3ª simetria de rotação é o giro de [tex3]\frac{3 \times 360}{n}[/tex3] graus.
...
A k-ésima simetria de rotação é o giro de [tex3]\frac{k \times 360}{n} = 360[/tex3] graus.
A n-ésima simetria de rotação é o giro de [tex3]\frac{n \times 360}{n} = 360[/tex3] graus.


O número de simetrias de rotação é o número de vezes que a figura se alinha com a sua posição original em uma volta completa de 360 graus. Como são n rotações válidas (de k=1 até k=n), o número total de simetrias de rotação é n.

A fórmula para o ângulo de cada rotação de simetria de um polígono regular de n lados é:

[tex3]\alpha_k = k \times \theta_{mínimo}[/tex3]
Onde:
* [tex3]\alpha_k[/tex3] é o ângulo da rotação.
* k é um número inteiro de 1 até n.
* [tex3]\theta_{mínimo}[/tex3] é a menor rotação de simetria, calculada como [tex3]\frac{360^\circ}{n}.[/tex3]
Substituindo [tex3]\theta_{mínimo}[/tex3] na fórmula, temos:
[tex3]\alpha_k = k \times \frac{360^\circ}{n}[/tex3]

Esta fórmula mostra que o ângulo da rotação ([tex3]\alpha_k[/tex3]) depende de qual simetria você está considerando (k) e do número de lados (n). O número total de simetrias de rotação é simplesmente n.
​
Ex: Imagine um hexágono regular (uma figura de 6 lados).

Aqui, n=6.

A menor rotação de simetria é 360/6 = 60^o

Se você gira o hexágono 60 graus, ele se encaixa perfeitamente na sua posição original.

Por que as outras rotações?
Se girar 60 graus funciona, girar 60 graus novamente também funciona. Isso nos leva a uma série de rotações que também são simetrias:

Primeira rotação: 1×60∘ =60∘ (a menor rotação que funciona).
Segunda rotação: 2×60∘ =120∘ .
Terceira rotação: 3×60∘ =180∘ .
Quarta rotação: 4×60∘ =240∘ .
Quinta rotação: 5×60∘ =300∘ .
Sexta rotação: 6×60∘ =360∘ (a volta completa, que sempre funciona para qualquer figura).

Então, para um hexágono, que tem 6 lados, temos 6 rotações que são simetrias. O número de simetrias de rotação é igual ao número de lados, que é igual ao número de simetrias de reflexão.