Olimpíadas ⇒ Olimpiada de Matemática - 2015 Tópico resolvido

[Júlia030412]

CANGURU 2015
Marcos escreveu dez números diferentes no quadro-negro. Depois, pediu para Márcia sublinhar todos os números da lista que fossem iguais ao produto de todos os outros nove números. No máximo, quantos números Márcia conseguirá sublinhar?
a.1
b.2
c.3
d.9
e.10

Resposta

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b

[Tassandro]

Júlia030412,
Sejam [tex3]x_1,x_2,...,x_3,x_{10}[/tex3] os números escritos. Temos que
[tex3]x_1=x_2×x_3×...×x_{10}[/tex3]. Agora, seja [tex3]x_2=x_1×x_3×...×x_{10}[/tex3]. Façamos [tex3]k=x_3×x_4×...×x_{10}[/tex3]. É nítido que [tex3]x_1=k×x_2,x_2=x_1×k\implies \frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1}=k\therefore x_1^2=x_2^2\implies |x_1|=|x_2|[/tex3]
Como [tex3]x_1\neq x_2, x_1=-x_2\implies k=-1[/tex3]
Agora, façamos [tex3]x_3=x_1×x_2×...×x_{10}\iff x_3^2=x_1×x_2×x_3×...×x_{10}\implies x_3^2=-x_1^2×k=x_1^2=x_2^2[/tex3]
Mas se [tex3]x_3^2=x_1^2\iff |x_3|=|x_1|\iff x_3=-x_1,mas\space x_2=-x_1\implies \boxed{Absurdo!}[/tex3]
Logo, Marcos pode sublinhar apenas dois números.
Espero ter ajudado!