IME / ITA ⇒ (ITA-96) Pirâmide Regular Tópico resolvido

[triplebig]

Numa pirâmide triangular de regular, a área da base é igual ao quadrado da altura [tex3]H[/tex3] . Seja [tex3]R[/tex3] o raio da esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão [tex3]\frac{H}{R}[/tex3] é igual a:

[tex3]a)\sqrt{\sqrt{3}+1}\\b)\sqrt{\sqrt{3}-1}\\c)1+\sqrt{3\sqrt{3}+1}\\d)1+\sqrt{3\sqrt{3}-1}\\e)\sqrt{3}+1[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá triplebig,

Esta questão morre rapidinho sabendo uma relação bem fácil de se provar (mostro a relação e deixo a prova para você):

[tex3]V=\frac{\(A_{\text{b}}+A_{\text{lateral}}\)\cdot R}{3}[/tex3]

Onde:
[tex3]A_{\text{b}}=\text{Area da base}[/tex3]
[tex3]A_{\text{lateral}}=\text{Area lateral}[/tex3]
[tex3]R=\text{Raio do circulo inscrito}[/tex3]

É dito no enunciado que [tex3]A_{\text{b}}=\text{Area da base}=H^2=\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}[/tex3]

piramide.GIF (3.75 KiB) Exibido 5083 vezes

D é o baricentro de ABC (triângulo equilátero pois a pirâmide é regular), portanto, DF vale 1/3 da altura de ABC. Podemos, então, aplicar pitágoras para descobrir a altura [tex3]a[/tex3] da face lateral:

[tex3]\(\frac 13\cdot \frac{\ell\sqrt 3}{2}\)^2+H^2=a^2[/tex3]

[tex3]\(\frac 13\cdot \frac{\ell\sqrt 3}{2}\)^2+\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}=a^2[/tex3]

[tex3]a=\frac{\ell}{2}\sqrt{\frac{1+3\sqrt 3}{3}}[/tex3]

Agora podemos calcular a área lateral:

[tex3]A_{\text{lateral}}=3\cdot\frac{\ell\cdot \frac{\ell}{2}\sqrt{\frac{1+3\sqrt 3}{3}}}{2}=\frac{\ell^2\sqrt{1+3\sqrt 3}\sqrt{3}}{4}[/tex3]

E, portanto, o volume calculado pela fórmula dada no início igualado a fórmula usual de volume:

[tex3]V=\frac{\(A_{\text{b}}+A_{\text{lateral}}\)\cdot R}{3}=\frac{A_{\text{b}}\time H}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{\(\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}+\frac{\ell^2\sqrt{1+3\sqrt 3}\sqrt{3}}{4}\)\cdot R}{3}=\frac{\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}\time H}{3}[/tex3]

Manipulando esta equação, chegamos em:

[tex3]\frac HR=1+\sqrt{1+3\sqrt 3}[/tex3]

Alternativa letra C.

[triplebig]

Que fórmula manjada esta, nunca a vi antes. Vou tentar prová-la agora, obrigado pela resolução.