Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Tronco de Cone

[jrbueno]

É dado um reservatório que tem a foma de um cone circular reto de raio [tex3]R,[/tex3] altura [tex3]H[/tex3] e cujo eixo está na vertical. Nele é despejado um líquido que vai ocupar metade do seu volume. Determine a distância [tex3]y[/tex3] do vértice do cone à superfície desse líquído quando em repouso.

Resposta:

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[tex3]\frac{H\sqrt[3]{4 }}{2}[/tex3]

Desde já, muito obrigado.
Gilberto Bueno

[Thales Gheós]

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Podemos escrever:

[tex3]\frac{\pi{R^2}H}{3}=2\frac{\pi{r^2}y}{3}\Rightarrow R^2H=2r^2y[/tex3]

e também as proporções: [tex3]\frac{H}{y}=\frac{R}{r}[/tex3] de modo que [tex3]r=\frac{Ry}{H}[/tex3]. Substituindo:

[tex3]R^2H=2\(\frac{Ry}{H}\)^2y[/tex3]

[tex3]R^2H=\frac{2R^2y^3}{H^2} \Rightarrow y^3=\frac{H^3}{2}[/tex3]

[tex3]y=\frac{H\sqrt[3]{4}}{2}[/tex3]