IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1997) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um paralelepípedo retângulo de volume [tex3]V[/tex3] tem dimensões inversamente proporcionais a [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3]. A área total do paralelepípedo é:

(A) [tex3]\frac{2V(ABC)}{(A+B+C)}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{V(A+B+C)}{ABC}[/tex3].
(C) [tex3]\sqrt[3]{2V^2(A+B+C)}[/tex3].
(D) [tex3]\sqrt[3]{V(AB+AC+BC)}[/tex3].
(E) [tex3]2(A+B+C).\sqrt[3]{\frac{V^2}{ABC}}[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.


Sejam [tex3]x, y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] as dimensões do paralelepípedo, de acordo com enunciado podemos escrever:

[tex3]xA= yB= yC= k[/tex3] (1)

[tex3]x= \frac{k}{A}[/tex3] (2)

[tex3]y = \frac{k}{B}[/tex3](3)

[tex3]z= \frac{k}{C}[/tex3] (4)

[tex3]V= x.y.z[/tex3] (5)

Substituindo (2) (3) (4) em (5) teremos:

[tex3]V= \frac{k}{A}.\frac{k}{B}. \frac{k}{C}[/tex3]

[tex3]V= \frac{k^3}{ABC}[/tex3]

[tex3]k= \sqrt[3]{V.ABC}[/tex3] (6)

Cálculo da área:

[tex3]A= 2(xy+xz+yz)[/tex3]

[tex3]A=2(\frac{k^2}{AB}+ \frac{k^2}{AC}+\frac{k^2}{BC})[/tex3]

[tex3]A= 2k^2(\frac{1}{AB}+ \frac{1}{BC}+\frac{1}{AC})[/tex3]

[tex3]A= 2k^2(\frac{C+ B+A}{ABC})[/tex3] (7)

Substituindo (6) em (7) temos:

[tex3]A= 2 \sqrt[3]{V^2(ABC)^2}.(\frac{A+B+C}{ABC})[/tex3]

[tex3]A= 2(A+B+C).\sqrt[3]{\frac{V^2}{ABC}}[/tex3]

Alternativa: E