Ensino Médio ⇒ Permutações de Elementos nem Todos Distintos Tópico resolvido

[BrunoCFS]

As embalagens dos produtos vendidos por uma empresa apresentam uma sequência formada por barras verticais: quatro de de largura 1,5 mm; três de largura 0,5 mm e duas de largura 0,25 mm como na figura abaixo. Cada sequência indica o preço de um produto. Quantos preços diferentes podem ser indicados por essas nove barras ?

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a) 1260
b) 1150
c) 930
d) 815
e) 536

Resposta

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a

[MateusQqMDMOD]

E aí, Bruno.

Se todas as barras fossem diferentes, obteríamos [tex3]9![/tex3] preços diferentes. Como as barras de largura 1,5 mm são iguais, contamos cada anagrama [tex3]4![/tex3] vezes. Analogamente, contamos [tex3]3![/tex3] vezes cada anagrama por serem iguais as barras de 0,5 mm e [tex3]2![/tex3] vezes por serem iguais as barras de 0,25 mm.

Corrigimos a contagem dividindo pelo número de repetições.

A resposta é [tex3]P_9^{4,3,2} = \frac{9!}{4!3!2!} = 1260.[/tex3]

[BrunoCFS]

questões de código de barras será sempre permutação ?

[MateusQqMDMOD]

É complicado falar em sempre, sabe?

Sugiro que você não pense dessa forma.

É melhor entender que o pedido da questão é que seja feita a contagem de quantas formas é possível organizar determinadas coisas em fila (barras), sendo que algumas dessas coisas são iguais (algumas barras são iguais entre si).

Por exemplo. Imagine que é pedido para você contar a quantidade de anagramas de duas letras possíveis de serem formados com as consoantes [tex3]C[/tex3] e [tex3]D.[/tex3] É fácil ver que a resposta é [tex3]2!,[/tex3] [tex3]CD[/tex3] e [tex3]DC,[/tex3] certo?

Agora, se fosse pedido a quantidade de anagramas de duas letras apenas com a consoante [tex3]C,[/tex3] a resposta seria [tex3]\frac{2!}{2!} = 1,[/tex3] pois o único anagrama que existe, nesse caso, é [tex3]CC.[/tex3]

Entende?