Ensino Médio ⇒ Permutação com repetição Tópico resolvido

[Pedro900]

Um bairro é formada por 12 quarteirões dispostos segundo figura. Uma pessoa sai do ponto P e dirige-se para o ponto Q, pelo caminho mais curto, isto é movendo-se da esquerda para a direita, ou de baixo para cima (na figura). Quantos caminhos diferentes ela poderá fazer ?
Alguém me explica como se faz essa questão

IMG_20200409_162930843~01.jpg (63.78 KiB) Exibido 1646 vezes

Resposta

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10

[Planck]

Olá, Pedro900.

Uma ideia é considerar as direções como “letras” e fazer como se fosse um anagrama. Observe que, em todos caminhos possíveis, ele precisa ir duas ruas para direita e três ruas para cima, ou seja:

[tex3]\underbrace{\text D \cdot \text D }_{\text{ruas para direita}} \underbrace{\text C \cdot \text C \cdot \text C }_{\text{ruas para cima}}\implies \frac{5!}{2!3!}[/tex3]

Note que podemos colocar qualquer letra dessas em qualquer posição que, seguindo as orientações (“direita” e “para cima”), chegamos no ponto [tex3]\text Q.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Para ir de [tex3]P[/tex3] até [tex3]Q,[/tex3] deve-se andar para a direita [tex3]2[/tex3] vezes e para cima [tex3]3[/tex3] vezes.

O número de formas que isso pode ser feito é [tex3]P_5^{2, \, 3} = \frac{5!}{2!3!} = 10.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Outra solução:

Para ir de [tex3]P[/tex3] até [tex3]Q,[/tex3] deve-se andar para a direita [tex3]2[/tex3] vezes e para cima [tex3]3[/tex3] vezes, num total de [tex3]5[/tex3] "passos". Escolhendo os passos que serão dados para cima, os outros serão para a direita.

A resposta é [tex3]C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10.[/tex3]

[Pedro900]

Obrigado a ambos pela ajuda