Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 1990) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A equação da reta suporte de um dos diâmetros de um círculo é [tex3]3y-4x+9=0[/tex3]. A reta tangente ao círculo por um dos extremos desse diâmetro corta o eixo dos [tex3]x[/tex3] no ponto de abscissa [tex3]16[/tex3].
Sabendo-se que a reta suporte do diâmetro paralelo à tangente considerada corta o eixo dos [tex3]y[/tex3] no ponto de ordenada [tex3]\frac{3}{4}[/tex3], calcule o raio do círculo.

Resposta

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9

[jneto]

Boa noite,

A reta [tex3]3y - 4x + 9 =[/tex3] (vou chamar de r ) é suporte de um dos diâmetros do círculo, em particular [tex3]m_{r} = \frac{4}{3}[/tex3]. A reta tangente ao círculo (vou chamar de s ) por um dos extremos desse diâmetro, tem coeficiente angular dado por:

[tex3]m_{s} = -\frac{1}{m_{r}} = -\frac{3}{4}[/tex3]

E passa pelo ponto [tex3]P = (16,0)[/tex3], então a equação de s é dada por :

[tex3]\boxed{y = -\frac{3}{4}(x - 16)}[/tex3]

Já a reta (vou chamar de u ) suporte de outro diâmetro e paralela à s , tem coeficiente angular [tex3]m_{u} = m_{s} = -\frac{3}{4}[/tex3]; além disso, passa pelo ponto [tex3]Q = \(0,\frac{3}{4}\)[/tex3]. Portanto, a equação de u é dada por:

[tex3]\boxed{y = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4}}[/tex3]


Seja [tex3]O = (a,b)[/tex3] o centro da circunferência em questão, como [tex3]O\in r[/tex3] e [tex3]O\in u[/tex3], temos o sistema:

[tex3]b = -\frac{3a}{4} + \frac{3}{4} \\
b = \frac{4a}{3} - 3[/tex3]

Resolvendo o mesmo, obtemos:

[tex3]\boxed{O = \(\frac{9}{5},-\frac{3}{5}\)}[/tex3]

Finalmente, da equação que fornece a distância de um ponto à uma reta no plano, temos:

[tex3]R = d_{Os} = \frac{\|3a+ 4b - 48\|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{45}{5} = 9[/tex3]

Portanto, o raio da circunferência é [tex3]\boxed{R = 9}[/tex3]


Fiquem com Deus